Theorem haust1 19616

Description: A Hausdorff space is a T₁ space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haust1	|- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Proof of Theorem haust1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
2	1	hausnei 19592	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
3		simprr1 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> x e. z )
4		noel 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. y e. (/)
5		simprr3 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( z i^i w ) = (/) )
6	5	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. ( z i^i w ) <-> y e. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. ( z i^i w ) )
8		simprr2 1045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> y e. w )
9		elin 3687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( z i^i w ) <-> ( y e. z /\ y e. w ) )
10	9	simplbi2com 627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. w -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
11	8, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
12	7, 11	mtod 177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. z )
13	3, 12	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) )
14	13	rexlimdvaa 2956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) -> ( E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
15	14	reximdva 2938	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> ( E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
16	2, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) )
17		rexanali 2917	. . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) <-> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
18	16, 17	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
19	18	3exp2 1214	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> ( x e. U. J -> ( y e. U. J -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) ) ) )
20	19	imp32 433	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) )
21	20	necon4ad 2687	. . 3 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2885	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
23		haustop 19595	. . . 4 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
24	1	toptopon 19198	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
25	23, 24	sylib 196	. . 3 |- ( J e. Haus -> J e. (TopOn ` U. J ) )
26		ist1-2 19611	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl 16	. 2 |- ( J e. Haus -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
28	22, 27	mpbird 232	1 |- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   (/)c0 3785   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Topctop 19158  TopOnctopon 19159   Frect1 19571   Hauscha 19572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-topgen 14692  df-top 19163  df-topon 19166  df-cld 19283  df-t1 19578  df-haus 19579

This theorem is referenced by:  sncld  19635  ishaus3  20056  reghaus  20058  nrmhaus  20059  tgpt1  20348  metreg  21099  ipasslem8  25425  onint1  29488  oninhaus  29489