Theorem haust1 20445

Description: A Hausdorff space is a T₁ space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haust1	|- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Proof of Theorem haust1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
2	1	hausnei 20421	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
3		simprr1 1078	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> x e. z )
4		noel 3726	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. y e. (/)
5		simprr3 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( z i^i w ) = (/) )
6	5	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. ( z i^i w ) <-> y e. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. ( z i^i w ) )
8		simprr2 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> y e. w )
9		elin 3608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( z i^i w ) <-> ( y e. z /\ y e. w ) )
10	9	simplbi2com 639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. w -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
12	7, 11	mtod 182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. z )
13	3, 12	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) )
14	13	rexlimdvaa 2872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) -> ( E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
15	14	reximdva 2858	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> ( E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
16	2, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) )
17		rexanali 2839	. . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) <-> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
18	16, 17	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
19	18	3exp2 1251	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> ( x e. U. J -> ( y e. U. J -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) ) ) )
20	19	imp32 440	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) )
21	20	necon4ad 2662	. . 3 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2814	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
23		haustop 20424	. . . 4 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
24	1	toptopon 20025	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
25	23, 24	sylib 201	. . 3 |- ( J e. Haus -> J e. (TopOn ` U. J ) )
26		ist1-2 20440	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl 17	. 2 |- ( J e. Haus -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
28	22, 27	mpbird 240	1 |- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   (/)c0 3722   U.cuni 4190   ` cfv 5589   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Frect1 20400   Hauscha 20401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-t1 20407  df-haus 20408

This theorem is referenced by:  sncld  20464  ishaus3  20915  reghaus  20917  nrmhaus  20918  tgpt1  21210  metreg  21973  ipasslem8  26559  sitmcl  29257  onint1  31180  oninhaus  31181  poimirlem30  32034