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Theorem haust1 18925
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )

Proof of Theorem haust1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
21hausnei 18901 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
3 simprr1 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  z )
4 noel 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  y  e.  (/)
5 simprr3 1038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
65eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  <->  y  e.  (/) ) )
74, 6mtbiri 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( z  i^i  w
) )
8 simprr2 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  w )
9 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  w ) )
109simplbi2com 627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  z  -> 
y  e.  ( z  i^i  w ) ) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  y  e.  ( z  i^i  w
) ) )
127, 11mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  z )
133, 12jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
1413rexlimdvaa 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  /\  z  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
1514reximdva 2822 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
162, 15mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
17 rexanali 2755 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z
)  <->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
19183exp2 1205 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( x  e.  U. J  -> 
( y  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) ) ) )
2019imp32 433 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  (
x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
2120necon4ad 2666 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
2221ralrimivva 2802 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
23 haustop 18904 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
241toptopon 18507 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2523, 24sylib 196 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
26 ist1-2 18920 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2822, 27mpbird 232 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710    i^i cin 3320   (/)c0 3630   U.cuni 4084   ` cfv 5411   Topctop 18467  TopOnctopon 18468   Frect1 18880   Hauscha 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fv 5419  df-topgen 14374  df-top 18472  df-topon 18475  df-cld 18592  df-t1 18887  df-haus 18888
This theorem is referenced by:  sncld  18944  ishaus3  19365  reghaus  19367  nrmhaus  19368  tgpt1  19657  metreg  20408  ipasslem8  24182  onint1  28243  oninhaus  28244
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