Theorem haust1 20368

Description: A Hausdorff space is a T₁ space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haust1	|- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Proof of Theorem haust1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
2	1	hausnei 20344	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
3		simprr1 1056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> x e. z )
4		noel 3735	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. y e. (/)
5		simprr3 1058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( z i^i w ) = (/) )
6	5	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. ( z i^i w ) <-> y e. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. ( z i^i w ) )
8		simprr2 1057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> y e. w )
9		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( z i^i w ) <-> ( y e. z /\ y e. w ) )
10	9	simplbi2com 633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. w -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
12	7, 11	mtod 181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. z )
13	3, 12	jca 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) )
14	13	rexlimdvaa 2880	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) -> ( E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
15	14	reximdva 2862	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> ( E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
16	2, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) )
17		rexanali 2840	. . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) <-> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
18	16, 17	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
19	18	3exp2 1227	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> ( x e. U. J -> ( y e. U. J -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) ) ) )
20	19	imp32 435	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) )
21	20	necon4ad 2643	. . 3 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2809	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
23		haustop 20347	. . . 4 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
24	1	toptopon 19948	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
25	23, 24	sylib 200	. . 3 |- ( J e. Haus -> J e. (TopOn ` U. J ) )
26		ist1-2 20363	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl 17	. 2 |- ( J e. Haus -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
28	22, 27	mpbird 236	1 |- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   i^i cin 3403   (/)c0 3731   U.cuni 4198   ` cfv 5582   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Frect1 20323   Hauscha 20324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-topgen 15342  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-t1 20330  df-haus 20331

This theorem is referenced by:  sncld  20387  ishaus3  20838  reghaus  20840  nrmhaus  20841  tgpt1  21132  metreg  21895  ipasslem8  26478  sitmcl  29184  onint1  31109  oninhaus  31110  poimirlem30  31970