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Theorem haust1 20303
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )

Proof of Theorem haust1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
21hausnei 20279 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
3 simprr1 1053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  z )
4 noel 3771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  y  e.  (/)
5 simprr3 1055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
65eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  <->  y  e.  (/) ) )
74, 6mtbiri 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( z  i^i  w
) )
8 simprr2 1054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  w )
9 elin 3655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  w ) )
109simplbi2com 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  z  -> 
y  e.  ( z  i^i  w ) ) )
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  y  e.  ( z  i^i  w
) ) )
127, 11mtod 180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  z )
133, 12jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
1413rexlimdvaa 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  /\  z  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
1514reximdva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
162, 15mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
17 rexanali 2885 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z
)  <->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
1816, 17sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
19183exp2 1223 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( x  e.  U. J  -> 
( y  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) ) ) )
2019imp32 434 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  (
x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
2120necon4ad 2651 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
2221ralrimivva 2853 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
23 haustop 20282 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
241toptopon 19883 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2523, 24sylib 199 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
26 ist1-2 20298 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl 17 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2822, 27mpbird 235 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441   (/)c0 3767   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Topctop 19852  TopOnctopon 19853   Frect1 20258   Hauscha 20259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-topgen 15305  df-top 19856  df-topon 19858  df-cld 19969  df-t1 20265  df-haus 20266
This theorem is referenced by:  sncld  20322  ishaus3  20773  reghaus  20775  nrmhaus  20776  tgpt1  21067  metreg  21795  ipasslem8  26331  onint1  30902  oninhaus  30903  poimirlem30  31685
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