Theorem haust1 19072

Description: A Hausdorff space is a T₁ space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haust1	|- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Proof of Theorem haust1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
2	1	hausnei 19048	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
3		simprr1 1036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> x e. z )
4		noel 3739	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. y e. (/)
5		simprr3 1038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( z i^i w ) = (/) )
6	5	eleq2d 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. ( z i^i w ) <-> y e. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. ( z i^i w ) )
8		simprr2 1037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> y e. w )
9		elin 3637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( z i^i w ) <-> ( y e. z /\ y e. w ) )
10	9	simplbi2com 627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. w -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
11	8, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
12	7, 11	mtod 177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. z )
13	3, 12	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) )
14	13	rexlimdvaa 2938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) -> ( E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
15	14	reximdva 2924	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> ( E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
16	2, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) )
17		rexanali 2870	. . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) <-> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
18	16, 17	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
19	18	3exp2 1206	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> ( x e. U. J -> ( y e. U. J -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) ) ) )
20	19	imp32 433	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) )
21	20	necon4ad 2668	. . 3 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2904	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
23		haustop 19051	. . . 4 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
24	1	toptopon 18654	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
25	23, 24	sylib 196	. . 3 |- ( J e. Haus -> J e. (TopOn ` U. J ) )
26		ist1-2 19067	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl 16	. 2 |- ( J e. Haus -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
28	22, 27	mpbird 232	1 |- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   i^i cin 3425   (/)c0 3735   U.cuni 4189   ` cfv 5516   Topctop 18614  TopOnctopon 18615   Frect1 19027   Hauscha 19028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-topgen 14484  df-top 18619  df-topon 18622  df-cld 18739  df-t1 19034  df-haus 19035

This theorem is referenced by:  sncld  19091  ishaus3  19512  reghaus  19514  nrmhaus  19515  tgpt1  19804  metreg  20555  ipasslem8  24372  onint1  28429  oninhaus  28430