Theorem haust1 20303

Description: A Hausdorff space is a T₁ space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
haust1	|- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Proof of Theorem haust1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2429	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
2	1	hausnei 20279	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
3		simprr1 1053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> x e. z )
4		noel 3771	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. y e. (/)
5		simprr3 1055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( z i^i w ) = (/) )
6	5	eleq2d 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. ( z i^i w ) <-> y e. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. ( z i^i w ) )
8		simprr2 1054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> y e. w )
9		elin 3655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( z i^i w ) <-> ( y e. z /\ y e. w ) )
10	9	simplbi2com 631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. w -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( y e. z -> y e. ( z i^i w ) ) )
12	7, 11	mtod 180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> -. y e. z )
13	3, 12	jca 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) /\ ( w e. J /\ ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) )
14	13	rexlimdvaa 2925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) /\ z e. J ) -> ( E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
15	14	reximdva 2907	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> ( E. z e. J E. w e. J ( x e. z /\ y e. w /\ ( z i^i w ) = (/) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) ) )
16	2, 15	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) )
17		rexanali 2885	. . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( x e. z /\ -. y e. z ) <-> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
18	16, 17	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) )
19	18	3exp2 1223	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> ( x e. U. J -> ( y e. U. J -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) ) ) )
20	19	imp32 434	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x =/= y -> -. A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) ) )
21	20	necon4ad 2651	. . 3 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2853	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) )
23		haustop 20282	. . . 4 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
24	1	toptopon 19883	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
25	23, 24	sylib 199	. . 3 |- ( J e. Haus -> J e. (TopOn ` U. J ) )
26		ist1-2 20298	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl 17	. 2 |- ( J e. Haus -> ( J e. Fre <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. z e. J ( x e. z -> y e. z ) -> x = y ) ) )
28	22, 27	mpbird 235	1 |- ( J e. Haus -> J e. Fre )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   i^i cin 3441   (/)c0 3767   U.cuni 4222   ` cfv 5601   Topctop 19852  TopOnctopon 19853   Frect1 20258   Hauscha 20259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-topgen 15305  df-top 19856  df-topon 19858  df-cld 19969  df-t1 20265  df-haus 20266

This theorem is referenced by:  sncld  20322  ishaus3  20773  reghaus  20775  nrmhaus  20776  tgpt1  21067  metreg  21795  ipasslem8  26331  onint1  30902  oninhaus  30903  poimirlem30  31685