Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mzpclval 36306 |
. . 3
⊢ (𝑉 ∈ V →
(mzPolyCld‘𝑉) =
{𝑝 ∈ 𝒫
(ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑝 ∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝))}) |
2 | 1 | eleq2d 2673 |
. 2
⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑃 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑝 ∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝))})) |
3 | | eleq2 2677 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ↔ ((ℤ ↑𝑚
𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃)) |
4 | 3 | ralbidv 2969 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ↔ ∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃)) |
5 | | eleq2 2677 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝 ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃)) |
6 | 5 | ralbidv 2969 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃)) |
7 | 4, 6 | anbi12d 743 |
. . . . 5
⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃))) |
8 | | eleq2 2677 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ↔ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃)) |
9 | | eleq2 2677 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝 ↔ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃)) |
10 | 8, 9 | anbi12d 743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃))) |
11 | 10 | raleqbi1dv 3123 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝) ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃))) |
12 | 11 | raleqbi1dv 3123 |
. . . . 5
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∀𝑓 ∈ 𝑝 ∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃))) |
13 | 7, 12 | anbi12d 743 |
. . . 4
⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑝 ∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝)) ↔ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃)))) |
14 | 13 | elrab 3331 |
. . 3
⊢ (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑝 ∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝))} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃)))) |
15 | | ovex 6577 |
. . . . 5
⊢ (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ V |
16 | 15 | elpw2 4755 |
. . . 4
⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑃 ⊆ (ℤ ↑𝑚
(ℤ ↑𝑚 𝑉))) |
17 | 16 | anbi1i 727 |
. . 3
⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃))) ↔ (𝑃 ⊆ (ℤ ↑𝑚
(ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃)))) |
18 | 14, 17 | bitri 263 |
. 2
⊢ (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (ℤ
↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑝 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑝) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑝 ∀𝑔 ∈ 𝑝 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑝 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑝))} ↔ (𝑃 ⊆ (ℤ ↑𝑚
(ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃)))) |
19 | 2, 18 | syl6bb 275 |
1
⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑃 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ (𝑃 ⊆ (ℤ ↑𝑚
(ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑖 ∈ ℤ ((ℤ
↑𝑚 𝑉) × {𝑖}) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚
𝑉) ↦ (𝑥‘𝑗)) ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑃 ∀𝑔 ∈ 𝑃 ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑃 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑃))))) |