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Theorem elmzpcl 35020
Description: Double substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmzpcl  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, V, g    i, V    j, V, x    P, f, g    P, i    P, j, x

Proof of Theorem elmzpcl
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpclval 35019 . . 3  |-  ( V  e.  _V  ->  (mzPolyCld `  V )  =  {
p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  oF  +  g )  e.  p  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  p ) ) } )
21eleq2d 2472 . 2  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  P  e.  { p  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  oF  +  g )  e.  p  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  p ) ) } ) )
3 eleq2 2475 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P ) )
43ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  <->  A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  P ) )
5 eleq2 2475 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( x `  j
) )  e.  p  <->  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P ) )
65ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p  <->  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  P ) )
74, 6anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  <-> 
( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P ) ) )
8 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( f  oF  +  g )  e.  p  <->  ( f  oF  +  g )  e.  P ) )
9 eleq2 2475 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( f  oF  x.  g )  e.  p  <->  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) )
108, 9anbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( f  oF  +  g )  e.  p  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  p
)  <->  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) )
1110raleqbi1dv 3012 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( A. g  e.  p  ( ( f  oF  +  g )  e.  p  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  p
)  <->  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  P
) ) )
1211raleqbi1dv 3012 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  oF  +  g )  e.  p  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  p
)  <->  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  (
f  oF  x.  g )  e.  P
) ) )
137, 12anbi12d 709 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  ( ( f  oF  +  g )  e.  p  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  p ) )  <->  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
1413elrab 3207 . . 3  |-  ( P  e.  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  oF  +  g )  e.  p  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  p ) ) }  <->  ( P  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
15 ovex 6306 . . . . 5  |-  ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  e. 
_V
1615elpw2 4558 . . . 4  |-  ( P  e.  ~P ( ZZ 
^m  ( ZZ  ^m  V ) )  <->  P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) ) )
1716anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( P  e.  ~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) )  <-> 
( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) )
1814, 17bitri 249 . 2  |-  ( P  e.  { p  e. 
~P ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  |  ( ( A. i  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
i } )  e.  p  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( x `  j ) )  e.  p )  /\  A. f  e.  p  A. g  e.  p  (
( f  oF  +  g )  e.  p  /\  ( f  oF  x.  g
)  e.  p ) ) }  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) )
192, 18syl6bb 261 1  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. i  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { i } )  e.  P  /\  A. j  e.  V  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( x `  j ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  oF  +  g )  e.  P  /\  ( f  oF  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   {csn 3972    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    ^m cmap 7457    + caddc 9525    x. cmul 9527   ZZcz 10905  mzPolyCldcmzpcl 35015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-mzpcl 35017
This theorem is referenced by:  mzpclall  35021  mzpcl1  35023  mzpcl2  35024  mzpcl34  35025  mzpincl  35028  mzpindd  35040
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