Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliocre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliocre 38581
 Description: A member of a left open, right closed interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliocre ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eliocre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 12051 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 12059 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
32biimpi 205 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
43simpld 474 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
54simp3d 1068 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65adantl 481 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 simpl 472 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 mnfxr 9975 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
104simp1d 1066 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11 mnfle 11845 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ ≤ 𝐴)
133simprd 478 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
1413simpld 474 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
159, 10, 5, 12, 14xrlelttrd 11867 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → -∞ < 𝐶)
1615adantl 481 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → -∞ < 𝐶)
1713simprd 478 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐶𝐵)
1817adantl 481 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
19 xrre 11874 . 2 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
206, 7, 16, 18, 19syl22anc 1319 1 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,]cioc 12047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioc 12051 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator