Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djaclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djaclN 35443
 Description: Closure of subspace join for DVecA partial vector space. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djacl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djacl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
djacl.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
djacl.j 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
djaclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem djaclN
StepHypRef Expression
1 djacl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 djacl.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 djacl.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2610 . . 3 ((ocA‘𝐾)‘𝑊) = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5 djacl.j . . 3 𝐽 = ((vA‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5djavalN 35442 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) = (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))))
7 inss1 3795 . . . 4 ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋)
81, 2, 3, 4docaclN 35431 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
98adantrr 749 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
101, 2, 3diaelrnN 35352 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
119, 10syldan 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ 𝑇)
127, 11syl5ss 3579 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇)
131, 2, 3, 4docaclN 35431 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) ⊆ 𝑇) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
1412, 13syldan 486 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∩ (((ocA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))) ∈ ran 𝐼)
156, 14eqeltrd 2688 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝑌𝑇)) → (𝑋𝐽𝑌) ∈ ran 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  DIsoAcdia 35335  ocAcocaN 35426  vAcdjaN 35438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-disoa 35336  df-docaN 35427  df-djaN 35439 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator