Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brco2f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brco2f1o 37350
Description: Conditions allowing the decomposition of a binary relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
brco2f1o.c (𝜑𝐶:𝑌1-1-onto𝑍)
brco2f1o.d (𝜑𝐷:𝑋1-1-onto𝑌)
brco2f1o.r (𝜑𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
Assertion
Ref Expression
brco2f1o (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵)))

Proof of Theorem brco2f1o
StepHypRef Expression
1 brco2f1o.d . . . 4 (𝜑𝐷:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1ocnv 6062 . . . 4 (𝐷:𝑋1-1-onto𝑌𝐷:𝑌1-1-onto𝑋)
3 f1ofn 6051 . . . 4 (𝐷:𝑌1-1-onto𝑋𝐷 Fn 𝑌)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑𝐷 Fn 𝑌)
5 brco2f1o.c . . . 4 (𝜑𝐶:𝑌1-1-onto𝑍)
6 f1ocnv 6062 . . . 4 (𝐶:𝑌1-1-onto𝑍𝐶:𝑍1-1-onto𝑌)
7 f1of 6050 . . . 4 (𝐶:𝑍1-1-onto𝑌𝐶:𝑍𝑌)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶:𝑍𝑌)
9 brco2f1o.r . . . 4 (𝜑𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
10 relco 5550 . . . . . 6 Rel (𝐶𝐷)
1110relbrcnv 5425 . . . . 5 (𝐵(𝐶𝐷)𝐴𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
12 cnvco 5230 . . . . . 6 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
1312breqi 4589 . . . . 5 (𝐵(𝐶𝐷)𝐴𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
1411, 13bitr3i 265 . . . 4 (𝐴(𝐶𝐷)𝐵𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
159, 14sylib 207 . . 3 (𝜑𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
164, 8, 15brcoffn 37348 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵)𝐷𝐴))
17 f1orel 6053 . . . 4 (𝐶:𝑌1-1-onto𝑍 → Rel 𝐶)
18 relbrcnvg 5423 . . . 4 (Rel 𝐶 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵)𝐶𝐵))
195, 17, 183syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵)𝐶𝐵))
20 f1orel 6053 . . . 4 (𝐷:𝑋1-1-onto𝑌 → Rel 𝐷)
21 relbrcnvg 5423 . . . 4 (Rel 𝐷 → ((𝐶𝐵)𝐷𝐴𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
221, 20, 213syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐷𝐴𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
2319, 22anbi12d 743 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐶(𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵)𝐷𝐴) ↔ ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵))))
2416, 23mpbid 221 1 (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   class class class wbr 4583  ccnv 5037  ccom 5042  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator