Theorem bj-2upln0 32204

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 32192	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 32190	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 3965	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 220	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 3738	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
6		psssstr 3675	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
8		0pss 3965	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 219	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 2852	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  ∅c0 3874  {csn 4125   × cxp 5036  1_𝑜c1o 7440  tag bj-ctag 32155  ⦅bj-c1upl 32178  ⦅bj-c2uple 32191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-bj-tag 32156  df-bj-1upl 32179  df-bj-2upl 32192

This theorem is referenced by: (None)