Theorem bj-2upln0 31617

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	|- (| A, B|) =/= (/)

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 31605	. 2 |- (| A, B|) = ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) )
2		bj-1upln0 31603	. . . . 5 |- (| A|) =/= (/)
3		0pss 3802	. . . . 5 |- ( (/) C. (| A|) <-> (| A|) =/= (/) )
4	2, 3	mpbir 213	. . . 4 |- (/) C. (| A|)
5		ssun1 3597	. . . 4 |- (| A|) C_ ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) )
6		psssstr 3539	. . . 4 |- ( ( (/) C. (| A|) /\ (| A|) C_ ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) ) -> (/) C. ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) )
7	4, 5, 6	mp2an 678	. . 3 |- (/) C. ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) )
8		0pss 3802	. . 3 |- ( (/) C. ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) <-> ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) =/= (/) )
9	7, 8	mpbi 212	. 2 |- ((| A|) u. ( { 1o } X. tag B ) ) =/= (/)
10	1, 9	eqnetri 2694	1 |- (| A, B|) =/= (/)

Syntax hints:   =/= wne 2622   u. cun 3402   C_ wss 3404   C. wpss 3405   (/)c0 3731   {csn 3968   X. cxp 4832   1oc1o 7175  tag bj-ctag 31568  (|bj-c1upl 31591  (|bj-c2uple 31604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-bj-tag 31569  df-bj-1upl 31592  df-bj-2upl 31605

This theorem is referenced by: (None)