Theorem 2dim 33774

Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2dim.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2dim	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐴   ∨ ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑞,𝑟   𝑃,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 2dim

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2dim.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		2dim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim1 33771	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
5		df-3an 1033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6	5	rexbii 3023	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
7		r19.42v 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
8	6, 7	bitri 263	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
9	8	simplbi 475	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)))
10		simplll 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 33665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simpllr 795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15	2, 3	atncmp 33617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
17		necom 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
18	16, 17	syl6rbb 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃))
19		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 3	atbase 33594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22		2dim.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
23	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 33714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
24	10, 21, 13, 23	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
25	18, 24	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
26	19, 1, 3	hlatjcl 33671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
27	10, 14, 13, 26	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
28		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
29	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 33714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
30	10, 27, 28, 29	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
31	25, 30	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
32	9, 31	syl5ib 233	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
33	32	reximdva 3000	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
34	33	reximdva 3000	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
35	4, 34	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by:  1dimN  33775  1cvratex  33777