Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2at0mat0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2at0mat0 33829
 Description: Special case of 2atmat0 33830 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmatz.j = (join‘𝐾)
2atmatz.m = (meet‘𝐾)
2atmatz.z 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2at0mat0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
2 simplr1 1096 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑅𝐴)
3 simpr 476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆𝐴)
4 simplr3 1098 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
5 simpl1 1057 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlol 33666 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8 simpr1 1060 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
9 simpr2 1061 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑆𝐴)
10 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 2atmatz.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
12 2atmatz.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1310, 11, 12hlatjcl 33671 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
145, 8, 9, 13syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑄𝐴)
16 2atmatz.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
17 2atmatz.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
1810, 16, 17, 12meetat2 33602 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
197, 14, 15, 18syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
2019adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
21 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2211, 12hlatjidm 33673 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
235, 15, 22syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
2421, 23sylan9eqr 2666 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
2524oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑄 (𝑅 𝑆)))
26 hllat 33668 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
2810, 12atbase 33594 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2915, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3010, 16latmcom 16898 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3127, 29, 14, 30syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3325, 32eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3433eleq1d 2672 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴))
3533eqeq1d 2612 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
3634, 35orbi12d 742 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 )))
3720, 36mpbird 246 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
3810, 11, 12hlatjcl 33671 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4010, 16, 17, 12meetat2 33602 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆𝐴) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
417, 39, 9, 40syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
43 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑆))
4411, 12hlatjidm 33673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑆 𝑆) = 𝑆)
455, 9, 44syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆 𝑆) = 𝑆)
4643, 45sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 𝑆) = 𝑆)
4746oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
4847eleq1d 2672 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴))
4947eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
5048, 49orbi12d 742 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 )))
5142, 50mpbird 246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
5251adantlr 747 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
53 df-ne 2782 . . . . . . . 8 (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 )
54 simpll1 1093 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
55 simpll2 1094 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃𝐴)
56 simpll3 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄𝐴)
57 simpr1 1060 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃𝑄)
58 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
5911, 12, 58llni2 33816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
6054, 55, 56, 57, 59syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
61 simplr1 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅𝐴)
62 simplr2 1097 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆𝐴)
63 simpr2 1061 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅𝑆)
6411, 12, 58llni2 33816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
6554, 61, 62, 63, 64syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
66 simplr3 1098 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
67 simpr3 1062 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )
6816, 17, 12, 582llnmat 33828 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
6954, 60, 65, 66, 67, 68syl32anc 1326 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
70693exp2 1277 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃𝑄 → (𝑅𝑆 → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))))
7170imp31 447 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7253, 71syl5bir 232 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (¬ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7372orrd 392 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7473orcomd 402 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
7552, 74pm2.61dane 2869 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
7637, 75pm2.61dane 2869 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
771, 2, 3, 4, 76syl13anc 1320 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
78 simpl1 1057 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
7978, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8038adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
81 simpr1 1060 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
8210, 16, 17, 12meetat2 33602 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅𝐴) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
8379, 80, 81, 82syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
8483adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
85 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑆 = 0 → (𝑅 𝑆) = (𝑅 0 ))
8610, 12atbase 33594 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8781, 86syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8810, 11, 17olj01 33530 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
8979, 87, 88syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
9085, 89sylan9eqr 2666 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 𝑆) = 𝑅)
9190oveq2d 6565 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
9291eleq1d 2672 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴))
9391eqeq1d 2612 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
9492, 93orbi12d 742 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 )))
9584, 94mpbird 246 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
96 simpr2 1061 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆𝐴𝑆 = 0 ))
9777, 95, 96mpjaodan 823 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  meetcmee 16768  0.cp0 16860  Latclat 16868  OLcol 33479  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802 This theorem is referenced by:  2atmat0  33830  cdlemg31b0a  35001
 Copyright terms: Public domain W3C validator