Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llni2 33816
 Description: The join of two different atoms is a lattice line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llni2.j = (join‘𝐾)
llni2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llni2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llni2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem llni2
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1058 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
2 simpl3 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
3 simpr 476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
4 eqidd 2611 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))
5 neeq1 2844 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟𝑠𝑃𝑠))
6 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 𝑠) = (𝑃 𝑠))
76eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → ((𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠)))
85, 7anbi12d 743 . . . 4 (𝑟 = 𝑃 → ((𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)) ↔ (𝑃𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠))))
9 neeq2 2845 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 → (𝑃𝑠𝑃𝑄))
10 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑄 → (𝑃 𝑠) = (𝑃 𝑄))
1110eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄)))
129, 11anbi12d 743 . . . 4 (𝑠 = 𝑄 → ((𝑃𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))))
138, 12rspc2ev 3295 . . 3 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)))
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1322 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)))
15 simpl1 1057 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
16 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 llni2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
18 llni2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1916, 17, 18hlatjcl 33671 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2019adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21 llni2.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2216, 17, 18, 21islln3 33814 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠))))
2315, 20, 22syl2anc 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠))))
2414, 23mpbird 246 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802 This theorem is referenced by:  2atneat  33819  islln2a  33821  2at0mat0  33829  ps-2c  33832  lplnnle2at  33845  2atmat  33865  lplnexllnN  33868  dalempjsen  33957  dalemcea  33964  dalem2  33965  dalemdea  33966  dalem16  33983  dalemcjden  33996  dalem23  34000  dalem54  34030  dalem60  34036  llnexchb2  34173  arglem1N  34495  cdlemc5  34500  cdleme20l1  34626  cdleme20l2  34627  cdleme20l  34628  cdleme22b  34647  cdlemeg46req  34835  cdlemh  35123
 Copyright terms: Public domain W3C validator