Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfilss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfilss 21503
 Description: If 𝐴 is a member of the filter, then the filter truncated to 𝐴 is a subset of the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfilss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem trfilss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restval 15910 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) = ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)))
2 filin 21468 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝐴𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
323expa 1257 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) ∧ 𝐴𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
43an32s 842 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
5 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴))
64, 5fmptd 6292 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)):𝐹𝐹)
7 frn 5966 . . 3 ((𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)):𝐹𝐹 → ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
86, 7syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
91, 8eqsstrd 3602 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  Filcfil 21459 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-rest 15906  df-fbas 19564  df-fil 21460 This theorem is referenced by:  fgtr  21504  flimrest  21597
 Copyright terms: Public domain W3C validator