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Theorem ss2iundf 36970
 Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by RP, 17-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ss2iundf.xph 𝑥𝜑
ss2iundf.yph 𝑦𝜑
ss2iundf.y 𝑦𝑌
ss2iundf.a 𝑦𝐴
ss2iundf.b 𝑦𝐵
ss2iundf.xc 𝑥𝐶
ss2iundf.yc 𝑦𝐶
ss2iundf.d 𝑥𝐷
ss2iundf.g 𝑦𝐺
ss2iundf.el ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝐶)
ss2iundf.sub ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → 𝐷 = 𝐺)
ss2iundf.ss ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐺)
Assertion
Ref Expression
ss2iundf (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ss2iundf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ss2iundf.xph . . 3 𝑥𝜑
2 ss2iundf.ss . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐺)
3 df-ral 2901 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷))
4 ss2iundf.el . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝐶)
5 ss2iundf.yph . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝜑
6 ss2iundf.a . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴
76nfcri 2745 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑥𝐴
85, 7nfan 1816 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥𝐴)
9 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
109eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑦𝐶𝑌𝐶))
1110biimprd 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑌𝐶𝑦𝐶))
12 ss2iundf.sub . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → 𝐷 = 𝐺)
1312sseq2d 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = 𝑌) → (𝐵𝐷𝐵𝐺))
14133expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐵𝐷𝐵𝐺))
1514notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (¬ 𝐵𝐷 ↔ ¬ 𝐵𝐺))
1615biimpd 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → (¬ 𝐵𝐷 → ¬ 𝐵𝐺))
1711, 16imim12d 79 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)))
1817ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
198, 18alrimi 2069 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦(𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
20 ss2iundf.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑌
21 ss2iundf.yc . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐶
2220, 21nfel 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑌𝐶
23 ss2iundf.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
24 ss2iundf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐺
2523, 24nfss 3561 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝐵𝐺
2625nfn 1768 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ¬ 𝐵𝐺
2722, 26nfim 1813 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)
2827, 20spcimgft 3257 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦(𝑦 = 𝑌 → ((𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))) → (𝑌𝐶 → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺))))
2919, 4, 28sylc 63 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → (𝑌𝐶 → ¬ 𝐵𝐺)))
304, 29mpid 43 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦(𝑦𝐶 → ¬ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐵𝐺))
313, 30syl5bi 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷 → ¬ 𝐵𝐺))
3231con2d 128 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐺 → ¬ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷))
33 dfrex2 2979 . . . . . 6 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 ↔ ¬ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝐵𝐷)
3432, 33syl6ibr 241 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐺 → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷))
352, 34mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷)
3635ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐶 𝐵𝐷))
371, 36ralrimi 2940 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷)
38 ssel 3562 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷 → (𝑧𝐵𝑧𝐷))
3938reximi 2994 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → ∃𝑦𝐶 (𝑧𝐵𝑧𝐷))
4023nfcri 2745 . . . . . . . 8 𝑦 𝑧𝐵
4140r19.37 3067 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐶 (𝑧𝐵𝑧𝐷) → (𝑧𝐵 → ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷))
4239, 41syl 17 . . . . . 6 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → (𝑧𝐵 → ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷))
43 eliun 4460 . . . . . 6 (𝑧 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∃𝑦𝐶 𝑧𝐷)
4442, 43syl6ibr 241 . . . . 5 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷 → (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
4544ssrdv 3574 . . . 4 (∃𝑦𝐶 𝐵𝐷𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
4645ralimi 2936 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷 → ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
47 df-iun 4457 . . . . 5 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧𝐵}
4847sseq1i 3592 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧𝐵} ⊆ 𝑦𝐶 𝐷)
49 abss 3634 . . . 4 ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧𝐵} ⊆ 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑧(∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
50 dfss2 3557 . . . . . 6 (𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑧(𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
5150ralbii 2963 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧(𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
52 ralcom4 3197 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑧(𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ ∀𝑧𝑥𝐴 (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
53 ss2iundf.xc . . . . . . . . 9 𝑥𝐶
54 ss2iundf.d . . . . . . . . 9 𝑥𝐷
5553, 54nfiun 4484 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦𝐶 𝐷
5655nfcri 2745 . . . . . . 7 𝑥 𝑧 𝑦𝐶 𝐷
5756r19.23 3004 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
5857albii 1737 . . . . 5 (∀𝑧𝑥𝐴 (𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ ∀𝑧(∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷))
5951, 52, 583bitrri 286 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑧 𝑦𝐶 𝐷) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
6048, 49, 593bitri 285 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
6146, 60sylibr 223 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐶 𝐵𝐷 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
6237, 61syl 17 1 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐶 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  {cab 2596  Ⅎwnfc 2738  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∪ ciun 4455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-v 3175  df-in 3547  df-ss 3554  df-iun 4457 This theorem is referenced by:  ss2iundv  36971  cbviuneq12df  36972
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