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Theorem ss2iundf 36322
Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by RP, 17-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ss2iundf.xph  |-  F/ x ph
ss2iundf.yph  |-  F/ y
ph
ss2iundf.y  |-  F/_ y Y
ss2iundf.a  |-  F/_ y A
ss2iundf.b  |-  F/_ y B
ss2iundf.xc  |-  F/_ x C
ss2iundf.yc  |-  F/_ y C
ss2iundf.d  |-  F/_ x D
ss2iundf.g  |-  F/_ y G
ss2iundf.el  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  C )
ss2iundf.sub  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  Y )  ->  D  =  G )
ss2iundf.ss  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  C_  G )
Assertion
Ref Expression
ss2iundf  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U_ y  e.  C  D )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)    D( x, y)    G( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem ss2iundf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ss2iundf.xph . . 3  |-  F/ x ph
2 ss2iundf.ss . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  C_  G )
3 df-ral 2761 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  C  -.  B  C_  D  <->  A. y
( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D
) )
4 ss2iundf.el . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  C )
5 ss2iundf.yph . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
ph
6 ss2iundf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y A
76nfcri 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  A
85, 7nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ph  /\  x  e.  A )
9 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  y  =  Y )
109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  (
y  e.  C  <->  Y  e.  C ) )
1110biimprd 231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  ( Y  e.  C  ->  y  e.  C ) )
12 ss2iundf.sub . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  Y )  ->  D  =  G )
1312sseq2d 3446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  Y )  ->  ( B  C_  D  <->  B  C_  G ) )
14133expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  ( B  C_  D  <->  B  C_  G
) )
1514notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  ( -.  B  C_  D  <->  -.  B  C_  G ) )
1615biimpd 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  ( -.  B  C_  D  ->  -.  B  C_  G ) )
1711, 16imim12d 76 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  =  Y )  ->  (
( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D
)  ->  ( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G ) ) )
1817ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  =  Y  -> 
( ( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D )  ->  ( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G )
) ) )
198, 18alrimi 1975 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y
( y  =  Y  ->  ( ( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D )  -> 
( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G
) ) ) )
20 ss2iundf.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y Y
21 ss2iundf.yc . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y C
2220, 21nfel 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  Y  e.  C
23 ss2iundf.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
24 ss2iundf.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y G
2523, 24nfss 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  C_  G
2625nfn 2003 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  -.  B  C_  G
2722, 26nfim 2023 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G
)
2827, 20spcimgft 3111 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  =  Y  ->  ( (
y  e.  C  ->  -.  B  C_  D )  ->  ( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G ) ) )  ->  ( Y  e.  C  ->  ( A. y ( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D )  ->  ( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G )
) ) )
2919, 4, 28sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y ( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D )  ->  ( Y  e.  C  ->  -.  B  C_  G )
) )
304, 29mpid 41 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y ( y  e.  C  ->  -.  B  C_  D )  ->  -.  B  C_  G ) )
313, 30syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  B  C_  D  ->  -.  B  C_  G ) )
3231con2d 119 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  G  ->  -.  A. y  e.  C  -.  B  C_  D ) )
33 dfrex2 2837 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  C  B  C_  D  <->  -.  A. y  e.  C  -.  B  C_  D )
3432, 33syl6ibr 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  G  ->  E. y  e.  C  B  C_  D
) )
352, 34mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  C  B  C_  D
)
3635ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  C  B  C_  D ) )
371, 36ralrimi 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  C  B  C_  D )
38 ssel 3412 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  D  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  D ) )
3938reximi 2852 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  B  C_  D  ->  E. y  e.  C  ( z  e.  B  ->  z  e.  D ) )
4023nfcri 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ y  z  e.  B
4140r19.37 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( z  e.  B  -> 
z  e.  D )  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  C  z  e.  D ) )
4239, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  C  B  C_  D  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  C  z  e.  D ) )
43 eliun 4274 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ y  e.  C  D  <->  E. y  e.  C  z  e.  D )
4442, 43syl6ibr 235 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  C  B  C_  D  ->  ( z  e.  B  ->  z  e. 
U_ y  e.  C  D ) )
4544ssrdv 3424 . . . 4  |-  ( E. y  e.  C  B  C_  D  ->  B  C_  U_ y  e.  C  D )
4645ralimi 2796 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  C  B  C_  D  ->  A. x  e.  A  B  C_  U_ y  e.  C  D )
47 df-iun 4271 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  B  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }
4847sseq1i 3442 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
U_ y  e.  C  D 
<->  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  C_  U_ y  e.  C  D )
49 abss 3484 . . . 4  |-  ( { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  C_  U_ y  e.  C  D  <->  A. z
( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D )
)
50 dfss2 3407 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  U_ y  e.  C  D 
<-> 
A. z ( z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D ) )
5150ralbii 2823 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  C_ 
U_ y  e.  C  D 
<-> 
A. x  e.  A  A. z ( z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D
) )
52 ralcom4 3052 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. z ( z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D
)  <->  A. z A. x  e.  A  ( z  e.  B  ->  z  e. 
U_ y  e.  C  D ) )
53 ss2iundf.xc . . . . . . . . 9  |-  F/_ x C
54 ss2iundf.d . . . . . . . . 9  |-  F/_ x D
5553, 54nfiun 4297 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U_ y  e.  C  D
5655nfcri 2606 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  e.  U_ y  e.  C  D
5756r19.23 2862 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
z  e.  B  -> 
z  e.  U_ y  e.  C  D )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D ) )
5857albii 1699 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D )  <->  A. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D
) )
5951, 52, 583bitrri 280 . . . 4  |-  ( A. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  z  e.  U_ y  e.  C  D
)  <->  A. x  e.  A  B  C_  U_ y  e.  C  D )
6048, 49, 593bitri 279 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
U_ y  e.  C  D 
<-> 
A. x  e.  A  B  C_  U_ y  e.  C  D )
6146, 60sylibr 217 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  C  B  C_  D  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U_ y  e.  C  D )
6237, 61syl 17 1  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U_ y  e.  C  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   {cab 2457   F/_wnfc 2599   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   U_ciun 4269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rex 2762  df-v 3033  df-in 3397  df-ss 3404  df-iun 4271
This theorem is referenced by:  ss2iundv  36323  cbviuneq12df  36324
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