Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoword 7350
 Description: A strictly monotone ordinal function preserves weak ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoword (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoword
StepHypRef Expression
1 smoord 7349 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (𝐷𝐶 ↔ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
21notbid 307 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
32ancom2s 840 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (¬ 𝐷𝐶 ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4 smodm2 7339 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
54adantr 480 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐴)
6 simprl 790 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
7 ordelord 5662 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
85, 6, 7syl2anc 691 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
9 simprr 792 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
10 ordelord 5662 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
115, 9, 10syl2anc 691 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
12 ordtri1 5673 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
138, 11, 12syl2anc 691 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷𝐶))
14 simplr 788 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Smo 𝐹)
15 smofvon2 7340 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
16 eloni 5650 . . . 4 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
1714, 15, 163syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
18 smofvon2 7340 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐷) ∈ On)
19 eloni 5650 . . . 4 ((𝐹𝐷) ∈ On → Ord (𝐹𝐷))
2014, 18, 193syl 18 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐷))
21 ordtri1 5673 . . 3 ((Ord (𝐹𝐶) ∧ Ord (𝐹𝐷)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
2217, 20, 21syl2anc 691 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ ¬ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
233, 13, 223bitr4d 299 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  Ord word 5639  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  Smo wsmo 7329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-ord 5643  df-on 5644  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-smo 7330 This theorem is referenced by:  cfcoflem  8977  coftr  8978
 Copyright terms: Public domain W3C validator