Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoord 7349
 Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoord (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))

Proof of Theorem smoord
StepHypRef Expression
1 smodm2 7339 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
21adantr 480 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐴)
3 simprl 790 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
4 ordelord 5662 . . 3 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
52, 3, 4syl2anc 691 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐶)
6 simprr 792 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
7 ordelord 5662 . . 3 ((Ord 𝐴𝐷𝐴) → Ord 𝐷)
82, 6, 7syl2anc 691 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord 𝐷)
9 ordtri3or 5672 . . 3 ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷𝐶 = 𝐷𝐷𝐶))
10 simp3 1056 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
11 smoel2 7347 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐷𝐴𝐶𝐷)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
1211expr 641 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ 𝐷𝐴) → (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
1312adantrl 748 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
14133impia 1253 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
1510, 142thd 254 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
16153expia 1259 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
17 ordirr 5658 . . . . . . . . 9 (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶𝐶)
185, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ¬ 𝐶𝐶)
19183adant3 1074 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶𝐶)
20 simp3 1056 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐷)
2119, 20neleqtrd 2709 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐶𝐷)
22 smofvon2 7340 . . . . . . . . . 10 (Smo 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ On)
2322ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐹𝐶) ∈ On)
24 eloni 5650 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶) ∈ On → Ord (𝐹𝐶))
25 ordirr 5658 . . . . . . . . 9 (Ord (𝐹𝐶) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
27263adant3 1074 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐶))
2820fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷))
2927, 28neleqtrd 2709 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
3021, 292falsed 365 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
31303expia 1259 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶 = 𝐷 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
3283adant3 1074 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → Ord 𝐷)
33 ordn2lp 5660 . . . . . . . 8 (Ord 𝐷 → ¬ (𝐷𝐶𝐶𝐷))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ (𝐷𝐶𝐶𝐷))
35 pm3.2 462 . . . . . . . 8 (𝐷𝐶 → (𝐶𝐷 → (𝐷𝐶𝐶𝐷)))
36353ad2ant3 1077 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 → (𝐷𝐶𝐶𝐷)))
3734, 36mtod 188 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ 𝐶𝐷)
3823, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → Ord (𝐹𝐶))
39383adant3 1074 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → Ord (𝐹𝐶))
40 ordn2lp 5660 . . . . . . . 8 (Ord (𝐹𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶)))
42 smoel2 7347 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐶)) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
4342adantrlr 755 . . . . . . . . 9 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ ((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶)) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
44433impb 1252 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))
45 pm3.21 463 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷) ∧ (𝐹𝐷) ∈ (𝐹𝐶))))
4741, 46mtod 188 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → ¬ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))
4837, 472falsed 365 . . . . 5 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
49483expia 1259 . . . 4 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐷𝐶 → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
5016, 31, 493jaod 1384 . . 3 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐶𝐷𝐶 = 𝐷𝐷𝐶) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
519, 50syl5 33 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷))))
525, 8, 51mp2and 711 1 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐹𝐶) ∈ (𝐹𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ord word 5639  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  Smo wsmo 7329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-ord 5643  df-on 5644  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-smo 7330 This theorem is referenced by:  smoword  7350  smoiso2  7353
 Copyright terms: Public domain W3C validator