Theorem revval 13360

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3185	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (#‘𝑤) = (#‘𝑊))
3	2	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(#‘𝑤)) = (0..^(#‘𝑊)))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((#‘𝑤) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((#‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 6109	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 4663	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 13160	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (0..^(#‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 6390	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6191	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ..^cfzo 12334  #chash 12979  reversecreverse 13152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-reverse 13160

This theorem is referenced by:  revcl  13361  revlen  13362  revfv  13363  repswrevw  13384  revco  13431