Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neindisj 20731
 Description: Any neighborhood of an element in the closure of a subset intersects the subset. Part of proof of Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neindisj (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem neindisj
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
21clsss3 20673 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
32sseld 3567 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃𝑋))
43impr 647 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → 𝑃𝑋)
51isneip 20719 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
64, 5syldan 486 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
7 3anass 1035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))))
81clsndisj 20689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
97, 8sylanbr 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ (𝑔𝐽𝑃𝑔)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
109anassrs 678 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1110adantllr 751 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ 𝑃𝑔) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
1211adantrr 749 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑔𝑆) ≠ ∅)
13 ssdisj 3978 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑁 ∧ (𝑁𝑆) = ∅) → (𝑔𝑆) = ∅)
1413ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑁 → ((𝑁𝑆) = ∅ → (𝑔𝑆) = ∅))
1514necon3d 2803 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑁 → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1615ad2antll 761 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → ((𝑔𝑆) ≠ ∅ → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1712, 16mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) ∧ (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
1817ex 449 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) ∧ 𝑔𝐽) → ((𝑃𝑔𝑔𝑁) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
1918rexlimdva 3013 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
2019expimpd 627 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
216, 20sylbid 229 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))
2221exp32 629 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) → (𝑁𝑆) ≠ ∅))))
2322imp43 619 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))) → (𝑁𝑆) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  Topctop 20517  clsccl 20632  neicnei 20711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-top 20521  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712 This theorem is referenced by:  clslp  20762  flimclslem  21598  utop3cls  21865
 Copyright terms: Public domain W3C validator