Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoln0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoln0N 33895
 Description: A lattice volume is nonzero. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoln0.z 0 = (0.‘𝐾)
lvoln0.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoln0N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋0 )

Proof of Theorem lvoln0N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21atex 33710 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3 n0 3890 . . . 4 ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
42, 3sylib 207 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6 eqid 2610 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 lvoln0.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
86, 1, 7lvolnleat 33887 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
983expa 1257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10 hlop 33667 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 1atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15 lvoln0.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
1612, 6, 15op0le 33491 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18 breq1 4586 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝0 (le‘𝐾)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 236 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0𝑋(le‘𝐾)𝑝))
2019necon3bd 2796 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝𝑋0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋0 )
225, 21exlimddv 1850 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  0.cp0 16860  OPcops 33477  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LVolsclvol 33797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator