Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsets Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsets 15723
 Description: The structure replacement function is a function. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsets (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)

Proof of Theorem fsets
StepHypRef Expression
1 difss 3699 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴
2 fssres 5983 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐴 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
31, 2mpan2 703 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
4 resres 5329 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})))
5 invdif 3827 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋})) = (𝐴 ∖ {𝑋})
65reseq2i 5314 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (V ∖ {𝑋}))) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
74, 6eqtri 2632 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋}))
8 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
9 fnresdm 5914 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1110reseq1d 5316 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
127, 11syl5reqr 2659 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})))
1312feq1d 5943 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵))
143, 13mpbird 246 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
1514adantl 481 . . 3 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵)
16 fsnunf2 6357 . . 3 (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})):(𝐴 ∖ {𝑋})⟶𝐵𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
1715, 16syl3an1 1351 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵)
18 simp1l 1078 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝐹𝑉)
19 simp3 1056 . . 3 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
20 setsval 15720 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2120feq1d 5943 . . 3 ((𝐹𝑉𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2218, 19, 21syl2anc 691 . 2 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):𝐴𝐵))
2317, 22mpbird 246 1 (((𝐹𝑉𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩):𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ⟨cop 4131   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   sSet csts 15693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-sets 15701 This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20245
 Copyright terms: Public domain W3C validator