Proof of Theorem f1prex
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1057 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
2 | | simpl2 1058 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
3 | | simprl 790 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷) |
4 | | f1f 6014 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 → 𝑓:{𝐴, 𝐵}⟶𝐷) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝑓:{𝐴, 𝐵}⟶𝐷) |
6 | | fpr2g 6380 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑓:{𝐴, 𝐵}⟶𝐷 ↔ ((𝑓‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝑓‘𝐵) ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 = {〈𝐴, (𝑓‘𝐴)〉, 〈𝐵, (𝑓‘𝐵)〉}))) |
7 | 6 | biimpa 500 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝑓:{𝐴, 𝐵}⟶𝐷) → ((𝑓‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝑓‘𝐵) ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 = {〈𝐴, (𝑓‘𝐴)〉, 〈𝐵, (𝑓‘𝐵)〉})) |
8 | 7 | simp1d 1066 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝑓:{𝐴, 𝐵}⟶𝐷) → (𝑓‘𝐴) ∈ 𝐷) |
9 | 1, 2, 5, 8 | syl21anc 1317 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → (𝑓‘𝐴) ∈ 𝐷) |
10 | 7 | simp2d 1067 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝑓:{𝐴, 𝐵}⟶𝐷) → (𝑓‘𝐵) ∈ 𝐷) |
11 | 1, 2, 5, 10 | syl21anc 1317 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → (𝑓‘𝐵) ∈ 𝐷) |
12 | | prid1g 4239 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) |
13 | 1, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}) |
14 | | prid2g 4240 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) |
15 | 2, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}) |
16 | 13, 15 | jca 553 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) |
17 | | simpl3 1059 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
18 | | f1veqaeq 6418 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵)) |
19 | 18 | necon3d 2803 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵))) |
20 | 19 | imp 444 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵)) |
21 | 3, 16, 17, 20 | syl21anc 1317 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → (𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵)) |
22 | | simprr 792 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → 𝜑) |
23 | 21, 22 | jca 553 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → ((𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵) ∧ 𝜑)) |
24 | | neeq1 2844 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝐴) ≠ 𝑦)) |
25 | | f1prex.1 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒)) |
26 | 24, 25 | anbi12d 743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓) ↔ ((𝑓‘𝐴) ≠ 𝑦 ∧ 𝜒))) |
27 | | neeq2 2845 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝐵) → ((𝑓‘𝐴) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵))) |
28 | | f1prex.2 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝐵) → (𝜒 ↔ 𝜑)) |
29 | 27, 28 | anbi12d 743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝐵) → (((𝑓‘𝐴) ≠ 𝑦 ∧ 𝜒) ↔ ((𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵) ∧ 𝜑))) |
30 | 26, 29 | rspc2ev 3295 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑓‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝑓‘𝐵) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑓‘𝐴) ≠ (𝑓‘𝐵) ∧ 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) |
31 | 9, 11, 23, 30 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) |
32 | 31 | ex 449 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓))) |
33 | 32 | exlimdv 1848 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓))) |
34 | 33 | imp 444 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) |
35 | | simpll1 1093 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
36 | | simplrl 796 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
37 | 35, 36 | jca 553 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)) |
38 | | simpll2 1094 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
39 | | simplrr 797 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝑦 ∈ 𝐷) |
40 | 38, 39 | jca 553 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → (𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) |
41 | | simpll3 1095 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
42 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝑥 ≠ 𝑦) |
43 | | f1oprg 6093 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1-onto→{𝑥, 𝑦})) |
44 | 43 | imp 444 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1-onto→{𝑥, 𝑦}) |
45 | 37, 40, 41, 42, 44 | syl22anc 1319 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1-onto→{𝑥, 𝑦}) |
46 | | f1of1 6049 |
. . . . . . . . 9
⊢
({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1-onto→{𝑥, 𝑦} → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→{𝑥, 𝑦}) |
47 | 45, 46 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→{𝑥, 𝑦}) |
48 | | prssi 4293 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷) |
49 | 36, 39, 48 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷) |
50 | | f1ss 6019 |
. . . . . . . 8
⊢
(({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→{𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷) → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷) |
51 | 47, 49, 50 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷) |
52 | | fvpr1g 6363 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴) = 𝑥) |
53 | 52 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑥 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴)) |
54 | 35, 36, 41, 53 | syl3anc 1318 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝑥 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴)) |
55 | | fvpr2g 6364 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵) = 𝑦) |
56 | 55 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑦 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵)) |
57 | 38, 39, 41, 56 | syl3anc 1318 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → 𝑦 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵)) |
58 | | prex 4836 |
. . . . . . . 8
⊢
{〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} ∈ V |
59 | | f1eq1 6009 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ↔ {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷)) |
60 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → (𝑓‘𝐴) = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴)) |
61 | 60 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴))) |
62 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → (𝑓‘𝐵) = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵)) |
63 | 62 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → (𝑦 = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑦 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵))) |
64 | 61, 63 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → ((𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)) ↔ (𝑥 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴) ∧ 𝑦 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵)))) |
65 | 59, 64 | anbi12d 743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = {〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉} → ((𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵))) ↔ ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴) ∧ 𝑦 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵))))) |
66 | 58, 65 | spcev 3273 |
. . . . . . 7
⊢
(({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐴) ∧ 𝑦 = ({〈𝐴, 𝑥〉, 〈𝐵, 𝑦〉}‘𝐵))) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) |
67 | 51, 54, 57, 66 | syl12anc 1316 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) |
68 | | simprl 790 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → 𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷) |
69 | | simplrr 797 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → 𝜓) |
70 | | simprrl 800 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → 𝑥 = (𝑓‘𝐴)) |
71 | 70, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → (𝜓 ↔ 𝜒)) |
72 | 69, 71 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → 𝜒) |
73 | | simprrr 801 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → 𝑦 = (𝑓‘𝐵)) |
74 | 73, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → (𝜒 ↔ 𝜑)) |
75 | 72, 74 | mpbid 221 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → 𝜑) |
76 | 68, 75 | jca 553 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) ∧ (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵)))) → (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) |
77 | 76 | ex 449 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → ((𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵))) → (𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑))) |
78 | 77 | eximdv 1833 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → (∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ (𝑥 = (𝑓‘𝐴) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝐵))) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑))) |
79 | 67, 78 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) |
80 | 79 | ex 449 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑))) |
81 | 80 | rexlimdvva 3020 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑))) |
82 | 81 | imp 444 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑)) |
83 | 34, 82 | impbida 873 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑓(𝑓:{𝐴, 𝐵}–1-1→𝐷 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜓))) |