Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12r 14096
 Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12r (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Proof of Theorem ello12r
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4586 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
21imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
32ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
4 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
54imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)))
65ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3295 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
873expa 1257 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
983adant1 1072 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
10 ello12 14095 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
11103ad2ant1 1075 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
129, 11mpbird 246 1 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  ≤𝑂(1)clo1 14066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-lo1 14070 This theorem is referenced by:  lo1resb  14143
 Copyright terms: Public domain W3C validator