Theorem disjxiunOLD 4580

Description: Obsolete proof of disjxiun 4579 as of 27-May-2021. An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
disjxiunOLD	⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiunOLD

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4486	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
3	1, 2	nfdisj 4565	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶
4		ssiun2 4499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
5		disjss1 4559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
7	6	com12 32	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
8	3, 7	ralrimi 2940	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
10		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
11		simprll 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
12		ssiun2 4499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
13		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
14		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
15		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
16	13, 14, 15	cbviun 4493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵
17	12, 16	syl6sseqr 3615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
19		simprlr 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
20		csbeq1 3502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
21	20	sseq1d 3595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵))
22	21, 17	vtoclga 3245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
24		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵)
25	13, 14, 15	cbvdisj 4563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
26	24, 25	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
27	20	disjor 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
28	26, 27	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
29		rsp2 2920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)))
31	30	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
32	31	ord 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅))
33	32	impr 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)
34		disjiun 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∩ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
35	10, 18, 23, 33, 34	syl13anc 1320	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
36	35	expr 641	. . . . . . . 8 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
37	36	orrd 392	. . . . . . 7 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
38	37	ralrimivva 2954	. . . . . 6 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
39	20	iuneq1d 4481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
40	39	disjor 4567	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅))
41	38, 40	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
42		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
43	14, 2	nfiun 4484	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
44	15	iuneq1d 4481	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
45	42, 43, 44	cbvdisj 4563	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
46	41, 45	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
47	46	ex 449	. . 3 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶))
48	9, 47	jcad 554	. 2 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))
49	16	eleq2i 2680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
50		eliun 4460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
51	49, 50	bitri 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
52		nfcv 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
53		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
54		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
55	52, 53, 54	cbviun 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵
56	55	eleq2i 2680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
57		eliun 4460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑣 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
58	56, 57	bitri 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
59	51, 58	anbi12i 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
60		reeanv 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
61	59, 60	bitr4i 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
62		simplrr 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
63		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑢 ∈ 𝐴)
64		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
65	14, 2	nfdisj 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶
66	15	disjeq1d 4561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
67	65, 66	rspc 3276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
68	63, 64, 67	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
69	68	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
70		disjors 4568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
71	69, 70	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
72		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
73	72	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
74	72	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
75	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
76	74, 75	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
77	73, 76	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵))
78		rsp2 2920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵∀𝑠 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
79	71, 77, 78	sylc 63	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
80	79	ord 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
81	62, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
82		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵))
83	82	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
84		ssiun2 4499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
85		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑟𝐶
86		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
87		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → 𝐶 = ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶)
88	85, 86, 87	cbviun 4493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑟 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶
89	84, 88	syl6sseqr 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
90	83, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
91	82	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
92		ssiun2 4499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
93		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑠𝐶
94		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
95		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐶 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶)
96	93, 94, 95	cbviun 4493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑠 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶
97	92, 96	syl6sseqr 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵 → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
98	91, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
99		ss2in 3802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
100	90, 98, 99	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶))
101		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
102	101	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)
103		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
104		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵
105	104, 2	nfiun 4484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶
106		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵)
107	106	iuneq1d 4481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
108	103, 105, 107	cbvdisj 4563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
109	102, 108	sylib 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
110	63	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
111		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
112	111	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐴)
113		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑣)
114		csbeq1 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵)
115	114	iuneq1d 4481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
116		csbeq1 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⦋𝑧 / 𝑦⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)
117	116	iuneq1d 4481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 = ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶)
118	115, 117	disji2 4569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
119	109, 110, 112, 113, 118	syl121anc 1323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅)
120		sseq0 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) ⊆ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) ∧ (∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑢 / 𝑦⦌𝐵𝐶 ∩ ∪ 𝑥 ∈ ⦋ 𝑣 / 𝑦⦌𝐵𝐶) = ∅) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
121	100, 119, 120	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
122	81, 121	pm2.61dane 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)
123	122	expr 641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
124	123	orrd 392	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
125	124	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → ((𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
126	125	rexlimdvva 3020	. . . . . 6 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 (𝑟 ∈ ⦋𝑢 / 𝑦⦌𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ⦋𝑣 / 𝑦⦌𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
127	61, 126	syl5bi 231	. . . . 5 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) → ((𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅)))
128	127	ralrimivv 2953	. . . 4 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) → ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
129		disjors 4568	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑠 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (⦋𝑟 / 𝑥⦌𝐶 ∩ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐶) = ∅))
130	128, 129	sylibr 223	. . 3 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
131	130	ex 449	. 2 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶))
132	48, 131	impbid 201	1 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ⦋csb 3499   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-iun 4457  df-disj 4554

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