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Theorem disjxiun 4579
Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that 𝐵(𝑦) and 𝐶(𝑥) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
disjxiun (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem disjxiun
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4486 . . . . . 6 𝑦 𝑦𝐴 𝐵
2 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦𝐶
31, 2nfdisj 4565 . . . . 5 𝑦Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶
4 ssiun2 4499 . . . . . . 7 (𝑦𝐴𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
5 disjss1 4559 . . . . . . 7 (𝐵 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑥𝐵 𝐶))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑥𝐵 𝐶))
76com12 32 . . . . 5 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (𝑦𝐴Disj 𝑥𝐵 𝐶))
83, 7ralrimi 2940 . . . 4 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶)
98a1i 11 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → ∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶))
10 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
11 ssiun2 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
12 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑢𝐵
13 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑢 / 𝑦𝐵
14 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
1512, 13, 14cbviun 4493 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵
1611, 15syl6sseqr 3615 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐴𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
1817ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
19 csbeq1 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑣𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
2019sseq1d 3595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵))
2120, 16vtoclga 3245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝐴𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2322ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → 𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵)
2412, 13, 14cbvdisj 4563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
2519disjor 4567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
2624, 25sylbb 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
27 rsp2 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)))
2928imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
3029ord 391 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅))
3130impr 647 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵 ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
3231adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)
33 disjiun 4573 . . . . . . . . . 10 ((Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵𝑣 / 𝑦𝐵 𝑦𝐴 𝐵 ∧ (𝑢 / 𝑦𝐵𝑣 / 𝑦𝐵) = ∅)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
3410, 18, 23, 32, 33syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ¬ 𝑢 = 𝑣)) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
3534expr 641 . . . . . . . 8 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (¬ 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3635orrd 392 . . . . . . 7 (((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3736ralrimivva 2954 . . . . . 6 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
3819iuneq1d 4481 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑣 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
3938disjor 4567 . . . . . 6 (Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅))
4037, 39sylibr 223 . . . . 5 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
41 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑢 𝑥𝐵 𝐶
4213, 2nfiun 4484 . . . . . 6 𝑦 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
4314iuneq1d 4481 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑢 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4441, 42, 43cbvdisj 4563 . . . . 5 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑢𝐴 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
4540, 44sylibr 223 . . . 4 ((Disj 𝑦𝐴 𝐵Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶) → Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)
4645ex 449 . . 3 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶))
479, 46jcad 554 . 2 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
4815eleq2i 2680 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵)
49 eliun 4460 . . . . . . . 8 (𝑟 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
5048, 49bitri 263 . . . . . . 7 (𝑟 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
51 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑣𝐵
52 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑣 / 𝑦𝐵
53 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
5451, 52, 53cbviun 4493 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴 𝐵 = 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵
5554eleq2i 2680 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵)
56 eliun 4460 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑣𝐴 𝑣 / 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5755, 56bitri 263 . . . . . . 7 (𝑠 𝑦𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
5850, 57anbi12i 729 . . . . . 6 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
59 reeanv 3086 . . . . . 6 (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑢𝐴 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑣𝐴 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
6058, 59bitr4i 266 . . . . 5 ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵))
61 simplrr 797 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → ¬ 𝑟 = 𝑠)
6213, 2nfdisj 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶
6314disjeq1d 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑢 → (Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6462, 63rspc 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐴 → (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶))
6564impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
66 disjors 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Disj 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6765, 66sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶𝑢𝐴) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6867ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → ∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
70 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑟𝑢 / 𝑦𝐵)
71 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)
7219adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑢 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
7371, 72eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → 𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)
7470, 73jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵))
75 rsp2 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
7675imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑠 𝑢 / 𝑦𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑢 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7769, 74, 76syl2an2r 872 . . . . . . . . . . . . 13 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7877adantlrr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
7978ord 391 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
8061, 79mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢 = 𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
81 ssiun2 4499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶)
82 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟𝐶
83 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑟 / 𝑥𝐶
84 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑟𝐶 = 𝑟 / 𝑥𝐶)
8582, 83, 84cbviun 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑟 𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶
8681, 85syl6sseqr 3615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
87 ssiun2 4499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶)
88 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑠𝐶
89 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑠 / 𝑥𝐶
90 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠𝐶 = 𝑠 / 𝑥𝐶)
9188, 89, 90cbviun 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑠 𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶
9287, 91syl6sseqr 3615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑣 / 𝑦𝐵𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
93 ss2in 3802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶𝑠 / 𝑥𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9486, 92, 93syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
9594ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶))
96 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 𝑥𝐵 𝐶
97 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 / 𝑦𝐵
9897, 2nfiun 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶
99 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑦𝐵)
10099iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 𝑥𝐵 𝐶 = 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
10196, 98, 100cbvdisj 4563 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
102101biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
103102ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶)
104 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
105 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑣𝑢𝑣)
106 csbeq1 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑢𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑢 / 𝑦𝐵)
107106iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑢 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶)
108 csbeq1 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑣𝑧 / 𝑦𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝐵)
109108iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 = 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶)
110107, 109disji2 4569 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑧𝐴 𝑥 𝑧 / 𝑦𝐵𝐶 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
111103, 104, 105, 110syl2an3an 1378 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅)
112 sseq0 3927 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) ⊆ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) ∧ ( 𝑥 𝑢 / 𝑦𝐵𝐶 𝑥 𝑣 / 𝑦𝐵𝐶) = ∅) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11395, 111, 112syl2an2r 872 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) ∧ 𝑢𝑣) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
11480, 113pm2.61dane 2869 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) ∧ ¬ 𝑟 = 𝑠)) → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)
115114expr 641 . . . . . . . 8 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (¬ 𝑟 = 𝑠 → (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
116115orrd 392 . . . . . . 7 ((((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵)) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
117116ex 449 . . . . . 6 (((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
118117rexlimdvva 3020 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑟𝑢 / 𝑦𝐵𝑠𝑣 / 𝑦𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
11960, 118syl5bi 231 . . . 4 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ((𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵) → (𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅)))
120119ralrimivv 2953 . . 3 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
121 disjors 4568 . . 3 (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑟 𝑦𝐴 𝐵𝑠 𝑦𝐴 𝐵(𝑟 = 𝑠 ∨ (𝑟 / 𝑥𝐶𝑠 / 𝑥𝐶) = ∅))
122120, 121sylibr 223 . 2 ((∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶) → Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶)
12347, 122impbid1 214 1 (Disj 𝑦𝐴 𝐵 → (Disj 𝑥 𝑦𝐴 𝐵𝐶 ↔ (∀𝑦𝐴 Disj 𝑥𝐵 𝐶Disj 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  csb 3499  cin 3539  wss 3540  c0 3874   ciun 4455  Disj wdisj 4553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-iun 4457  df-disj 4554
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