Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conhmph 21402
 Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
conhmph (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Con → 𝐾 ∈ Con))

Proof of Theorem conhmph
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 21389 . 2 (𝐽𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2 n0 3890 . . 3 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3 eqid 2610 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2610 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4hmeof1o 21377 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾)
6 f1ofo 6057 . . . . . 6 (𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾𝑓: 𝐽onto 𝐾)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽onto 𝐾)
8 hmeocn 21373 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
94cnconn 21035 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Con ∧ 𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Con)
1093expb 1258 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Con ∧ (𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Con)
1110expcom 450 . . . . 5 ((𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Con → 𝐾 ∈ Con))
127, 8, 11syl2anc 691 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Con → 𝐾 ∈ Con))
1312exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Con → 𝐾 ∈ Con))
142, 13sylbi 206 . 2 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Con → 𝐾 ∈ Con))
151, 14sylbi 206 1 (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Con → 𝐾 ∈ Con))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  (class class class)co 6549   Cn ccn 20838  Conccon 21024  Homeochmeo 21366   ≃ chmph 21367 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-map 7746  df-top 20521  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-con 21025  df-hmeo 21368  df-hmph 21369 This theorem is referenced by:  xrcon  22556
 Copyright terms: Public domain W3C validator