Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg4a 34914
 Description: TODO: FIX COMMENT If fg(p) = p, then tr f = tr g. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l = (le‘𝐾)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg4.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))

Proof of Theorem cdlemg4a
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)
21oveq2d 6565 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → ((𝐺𝑃)(join‘𝐾)(𝐹‘(𝐺𝑃))) = ((𝐺𝑃)(join‘𝐾)𝑃))
3 simp1l 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1054 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp23 1089 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → 𝐺𝑇)
6 simp21 1087 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
7 cdlemg4.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
8 cdlemg4.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg4.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg4.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
117, 8, 9, 10ltrnel 34443 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
1211simpld 474 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
14 simp21l 1171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → 𝑃𝐴)
15 eqid 2610 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
1615, 8hlatjcom 33672 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴𝑃𝐴) → ((𝐺𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)(𝐺𝑃)))
173, 13, 14, 16syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → ((𝐺𝑃)(join‘𝐾)𝑃) = (𝑃(join‘𝐾)(𝐺𝑃)))
182, 17eqtrd 2644 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → ((𝐺𝑃)(join‘𝐾)(𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝑃(join‘𝐾)(𝐺𝑃)))
1918oveq1d 6564 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (((𝐺𝑃)(join‘𝐾)(𝐹‘(𝐺𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑃(join‘𝐾)(𝐺𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
20 simp22 1088 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
214, 5, 6, 11syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
22 eqid 2610 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
23 cdlemg4.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
247, 15, 22, 8, 9, 10, 23trlval2 34468 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃)(join‘𝐾)(𝐹‘(𝐺𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
254, 20, 21, 24syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃)(join‘𝐾)(𝐹‘(𝐺𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
267, 15, 22, 8, 9, 10, 23trlval2 34468 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃(join‘𝐾)(𝐺𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
274, 5, 6, 26syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑅𝐺) = ((𝑃(join‘𝐾)(𝐺𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
2819, 25, 273eqtr4d 2654 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464 This theorem is referenced by:  cdlemg4f  34921
 Copyright terms: Public domain W3C validator