Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  poslubdg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poslubdg 16972
 Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubdg.l = (le‘𝐾)
poslubdg.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
poslubdg.u (𝜑𝑈 = (lub‘𝐾))
poslubdg.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
poslubdg.s (𝜑𝑆𝐵)
poslubdg.t (𝜑𝑇𝐵)
poslubdg.ub ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
poslubdg.le ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
Assertion
Ref Expression
poslubdg (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem poslubdg
StepHypRef Expression
1 poslubdg.u . . 3 (𝜑𝑈 = (lub‘𝐾))
21fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = ((lub‘𝐾)‘𝑆))
3 poslubdg.l . . 3 = (le‘𝐾)
4 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2610 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6 poslubdg.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
7 poslubdg.s . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
8 poslubdg.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
97, 8sseqtrd 3604 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
10 poslubdg.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐵)
1110, 8eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
12 poslubdg.ub . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 𝑇)
138eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
1413biimpar 501 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦𝐵)
15143adant3 1074 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑦𝐵)
16 poslubdg.le . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
1715, 16syld3an2 1365 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑇 𝑦)
183, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 17poslubd 16971 . 2 (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘𝑆) = 𝑇)
192, 18eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  lubclub 16765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797 This theorem is referenced by:  posglbd  16973  mrelatlub  17009
 Copyright terms: Public domain W3C validator