MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubl 16943
Description: The LUB of a complete lattice subset is the least bound. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑈   𝑦,   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lubl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lublem.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lublem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lublem.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
41, 2, 3lublem 16941 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
54simprd 478 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧))
6 breq2 4587 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑦 𝑧𝑦 𝑋))
76ralbidv 2969 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋))
8 breq2 4587 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑈𝑆) 𝑧 ↔ (𝑈𝑆) 𝑋))
97, 8imbi12d 333 . . 3 (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋)))
109rspccva 3281 . 2 ((∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧) ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋))
115, 10stoic3 1692 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  lubclub 16765  CLatccla 16930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-lub 16797  df-clat 16931
This theorem is referenced by:  lubss  16944  lubun  16946
  Copyright terms: Public domain W3C validator