Theorem lpss2 32720

Description: Limit points of a subset are limit points of the larger set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpss2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
lpss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((limPt‘𝐽)‘𝐵) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem lpss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpss2.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	lpss3 20758	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((limPt‘𝐽)‘𝐵) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  Topctop 20517  limPtclp 20748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-top 20521  df-cld 20633  df-cls 20635  df-lp 20750

This theorem is referenced by: (None)