Theorem fco3 38416

Description: Functionality of a composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fco3.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
fco3.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fco3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran 𝐹)

Proof of Theorem fco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
2		fco3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
3		funco 5842	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
5		fdmrn 5977	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
6	4, 5	sylib 207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
7		dmco 5560	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 “ dom 𝐹)
8	7	feq2i 5950	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺)))
10	6, 9	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
11		rncoss 5307	. . 3 ⊢ ran (𝐹 ∘ 𝐺) ⊆ ran 𝐹
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ 𝐺) ⊆ ran 𝐹)
13	10, 12	fssd 5970	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ⊆ wss 3540  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808

This theorem is referenced by:  smfco  39687