Theorem eldifpr 4152

Description: Membership in a set with two elements removed. Similar to eldifsn 4260 and eldiftp 4175. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldifpr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Proof of Theorem eldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 4144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
2	1	notbid 307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
3		neanior 2874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷))
4	2, 3	syl6bbr 277	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
5	4	pm5.32i 667	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
6		eldif 3550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}))
7		3anass 1035	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {cpr 4127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-sn 4126  df-pr 4128

This theorem is referenced by:  logbcl  24305  logbid1  24306  logb1  24307  elogb  24308  logbchbase  24309  relogbval  24310  relogbcl  24311  relogbreexp  24313  relogbmul  24315  relogbexp  24318  nnlogbexp  24319  relogbcxp  24323  cxplogb  24324  relogbcxpb  24325  logbmpt  24326  logbfval  24328  rexdifpr  40315  eluz2cnn0n1  42095  rege1logbrege0  42150  relogbmulbexp  42153  relogbdivb  42154  nnpw2blen  42172