Theorem relogbval 24310

Description: Value of the general logarithm with integer base. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relogbval	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))

Proof of Theorem relogbval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgt1rpn0n1 11747	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3	2	simp1d 1066	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 11750	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2	simp2d 1067	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
6	2	simp3d 1068	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
7		eldifpr 4152	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	4, 5, 6, 7	syl3anbrc 1239	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
9		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
10	9	rpcnne0d 11757	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
11		eldifsn 4260	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
12	10, 11	sylibr 223	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		logbval 24304	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))
14	8, 12, 13	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) = ((log‘𝑋) / (log‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  logclog 24105   log_b clogb 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-logb 24303

This theorem is referenced by:  logbrec  24320  logbleb  24321  logblt  24322  logbge0b  42155  logblt1b  42156