Theorem prtlem100 33161

Description: Lemma for prter3 33185. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
prtlem100	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})(𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem prtlem100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 679	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))))
2		eldifsn 4260	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
3	2	anbi1i 727	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
4		ne0i 3880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	pm4.71ri 663	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥))
6	5	anbi1i 727	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥) ∧ 𝜑))
7		anass 679	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
8	6, 7	bitri 263	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
9	8	anbi2i 726	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))))
10	1, 3, 9	3bitr4ri 292	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
11	10	rexbii2 3021	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})(𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-rex 2902  df-v 3175  df-dif 3543  df-nul 3875  df-sn 4126

This theorem is referenced by: (None)