Theorem int-rightdistd 37505

Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-rightdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-rightdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-rightdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-rightdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-rightdistd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Proof of Theorem int-rightdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-rightdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 9947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-rightdistd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		int-rightdistd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7	4, 6	addcld 9938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
8	2, 7	mulcomd 9940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵))
9	4, 6, 2	adddird 9944	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
10	4, 2	mulcomd 9940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
11		int-rightdistd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
12		eqcom 2617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
13	12	imbi2i 325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴))
14	11, 13	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
15	14	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
16	10, 15	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶))
17	6, 2	mulcomd 9940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
18	14	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
19	17, 18	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐷))
20	16, 19	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
21	9, 20	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
22	8, 21	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-resscn 9872  ax-addcl 9875  ax-mulcom 9879  ax-distr 9882

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by: (None)