Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjdifprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjdifprg 28770
 Description: A trivial partition into a subset and its complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjdifprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem disjdifprg
StepHypRef Expression
1 disjxsn 4576 . . . . . 6 Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥
2 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ∅ = ∅)
4 elex 3185 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
5 0ex 4718 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊 → ∅ ∈ V)
74, 6, 6preqsnd 4330 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑊 → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
92, 3, 8mpbir2and 959 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → {𝐵, ∅} = {∅})
109disjeq1d 4561 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥))
111, 10mpbiri 247 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
12 in0 3920 . . . . . 6 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
134adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
145a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
15 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1816, 17disjprg 4578 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
2012, 19mpbiri 247 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2111, 20pm2.61dane 2869 . . . 4 (𝐵𝑊Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2221ad2antlr 759 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
23 difeq2 3684 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ ∅))
24 dif0 3904 . . . . . . 7 (𝐵 ∖ ∅) = 𝐵
2523, 24syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = 𝐵)
26 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2725, 26preq12d 4220 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐵, ∅})
2827disjeq1d 4561 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
2928adantl 481 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
3022, 29mpbird 246 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
31 incom 3767 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
32 disjdif 3992 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
3331, 32eqtr3i 2634 . . 3 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
34 difexg 4735 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵𝐴) ∈ V)
3534ad2antlr 759 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ∈ V)
36 elex 3185 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
3736ad2antrr 758 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ V)
38 ssid 3587 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴)
39 ssdifeq0 4003 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
4039notbii 309 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
41 nssne2 3625 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4240, 41sylan2br 492 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4338, 42mpan 702 . . . . 5 𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4443adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
45 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐴) → 𝑥 = (𝐵𝐴))
46 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
4745, 46disjprg 4578 . . . 4 (((𝐵𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐵𝐴) ≠ 𝐴) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4835, 37, 44, 47syl3anc 1318 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4933, 48mpbiri 247 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
5030, 49pm2.61dan 828 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  Disj wdisj 4553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-sn 4126  df-pr 4128  df-disj 4554 This theorem is referenced by:  disjdifprg2  28771  measssd  29605
 Copyright terms: Public domain W3C validator