cauappcvgprlemladdru - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdru 6754

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6756. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	⊢ (𝜑 → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝑆(𝑝) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3768	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2327	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
3		nqex 6461	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
4	3	rabex 3901	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
5	3	rabex 3901	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
6	4, 5	op2nd 5774	. . . 4 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}
7	2, 6	elrab2 2700	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 6753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
14		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑣))
15		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑣))
16	15	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) = ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
17	14, 16	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
18	17	cbvrexv 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
20	19	rabbiia 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → 𝑞 = 𝑣)
22	15, 21	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣))
23	22	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆))
24	23	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢))
25	24	cbvrexv 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢)
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢))
27	26	rabbiia 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}
28	20, 27	opeq12i 3554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩
29	28	fveq2i 5181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩)
30	13, 29	syl6sseq 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
31	30	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
32	8	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
33		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
34	32, 33	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
35		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑣 ∈ Q)
36		addassnqg 6480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
38		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
39	34, 33, 38	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
40		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) ∈ Q)
41	39, 40	sylancom 397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) ∈ Q)
42	37, 41	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q)
43	32, 35	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) ∈ Q)
44		ltsonq 6496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <_Q Or Q
45		so2nr 4058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
46	44, 45	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
47	42, 43, 46	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
48	12	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
49		addcomnqg 6479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
50	49	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
51		addassnqg 6480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
52	51	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 5681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) = ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆))
54	53	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
55		ltanqg 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
56	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 5670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) <_Q (𝐹‘𝑣) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
58	37	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) <_Q (𝐹‘𝑣) ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
59	54, 57, 58	3bitr2d 205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
60	59	biimpd 132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
61	9	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
62		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑣))
63		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑣 +_Q 𝑞))
64	63	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
65	62, 64	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
66	62, 63	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
67	66	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
68	65, 67	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
69	68	ralbidv 2326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
70	69	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
71	70	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
73		rsp 2369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
74	72, 33, 73	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
75	74	simpld 105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
76		addcomnqg 6479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑣 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑣))
77	35, 33, 76	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑣 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑣))
78	77	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
79	75, 78	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
80	60, 79	jctird 300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))))
81	47, 80	mtod 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ¬ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
82	81	nrexdv 2412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
83	8	ffvelrnda 5302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
84	83, 38	sylancom 397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
85	12	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
86		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q)
87	84, 85, 86	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q)
88		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → (𝑙 +_Q 𝑣) = ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣))
89	88	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
90	89	rexbidv 2327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
91	90	elrab3 2699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
93	82, 92	mtbird 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)})
94	3	rabex 3901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ∈ V
95	3	rabex 3901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
96	94, 95	op1st 5773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}
97	96	eleq2i 2104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)})
98	93, 97	sylnibr 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
99	31, 98	ssneldd 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
100	99	adantlr 446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
101	100	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 6751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
103		nqprlu 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105		addclpr 6635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106	102, 104, 105	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107		prop 6573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109		prloc 6589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
110	108, 109	sylan 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
111	110	adantlr 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
112	111	adantlr 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
113	112	orcomd 648	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
114	101, 113	ecased 1239	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
115	114	ex 108	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
116	115	rexlimdva 2433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
117	116	expimpd 345	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
118	7, 117	syl5bi 141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
119	118	ssrdv 2951	1 ⊢ (𝜑 → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 97 ↔ wb 98 ∨ wo 629 ∧ w3a 885 = wceq 1243 ∈ wcel 1393 {cab 2026 ∀wral 2306 ∃wrex 2307 {crab 2310 ⊆ wss 2917 ⟨cop 3378 class class class wbr 3764 Or wor 4032 ⟶wf 4898 ‘cfv 4902 (class class class)co 5512 1^st c1st 5765 2^nd c2nd 5766 Qcnq 6378 +_Q cplq 6380 <_Q cltq 6383 Pcnp 6389 +_P cpp 6391

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-iplp 6566

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 6756

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