Theorem prarloclemcalc 6600

Description: Some calculations for prarloc 6601. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemcalc	⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q)
2		nqnq0a 6552	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
3	1, 1, 2	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
4	3	oveq2d 5528	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5		simpll 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6		simprrl 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q)
7		simprrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8		1pi 6413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ N
9		opelxpi 4376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
10	8, 9	mpan2 401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
11		enq0ex 6537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~Q0 ∈ V
12	11	ecelqsi 6160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14		df-nq0 6523	. . . . . . . . 9 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
15	13, 14	syl6eleqr 2131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0)
16	7, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0)
17		nqnq0 6539	. . . . . . . 8 ⊢ Q ⊆ Q0
18	17, 1	sseldi 2943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q0)
19		mulclnq0 6550	. . . . . . 7 ⊢ (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
20	16, 18, 19	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21		nqpnq0nq 6551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
22	6, 20, 21	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
23	5, 22	eqeltrd 2114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 ∈ Q)
24		addclnq 6473	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
25	1, 1, 24	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26		nqnq0a 6552	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
27	23, 25, 26	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28		simplr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29		2onn 6094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
30		2on0 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 ≠ ∅
31		elni 6406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2𝑜 ∈ N ↔ (2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ≠ ∅))
32	29, 30, 31	mpbir2an 849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2𝑜 ∈ N
33		nnppipi 6441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ N) → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
34	32, 33	mpan2 401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
35		opelxpi 4376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
36	34, 8, 35	sylancl 392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
37		enqex 6458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q ∈ V
38	37	ecelqsi 6160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40		df-nqqs 6446	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
41	39, 40	syl6eleqr 2131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
42	7, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
43		mulclnq 6474	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
44	42, 1, 43	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45		nqnq0a 6552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
46	6, 44, 45	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47		nqnq0m 6553	. . . . . . . . 9 ⊢ (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
48	42, 1, 47	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49		nqnq0pi 6536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
50	34, 8, 49	sylancl 392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
51	7, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
52	51	oveq1d 5527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
53	48, 52	eqtr4d 2075	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
54	53	oveq2d 5528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
55	28, 46, 54	3eqtrd 2076	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56		nnanq0 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
57	8, 56	mp3an3 1221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
58	7, 29, 57	sylancl 392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
59	58	oveq1d 5527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60		opelxpi 4376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
61	29, 8, 60	mp2an 402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N)
62	11	ecelqsi 6160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
63	61, 62	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
64	63, 14	eleqtrri 2113	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0
65		distnq0r 6561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
66	64, 65	mp3an3 1221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
67	18, 16, 66	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
68	59, 67	eqtrd 2072	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
69	68	oveq2d 5528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70		nq02m 6563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
71	70	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
72	71	oveq2d 5528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
73	18, 72	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
74	17, 6	sseldi 2943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q0)
75		addclnq0 6549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
76	18, 18, 75	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77		addassnq0 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
78	74, 20, 76, 77	syl3anc 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
79	73, 78	eqtr4d 2075	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
80	55, 69, 79	3eqtrd 2076	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81		oveq1 5519	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
82	81	eqeq2d 2051	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
83	5, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
84	80, 83	mpbird 156	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
85	4, 27, 84	3eqtr4rd 2083	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86		simprlr 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87		ltrelnq 6463	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
88	87	brel 4392	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
89	86, 88	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
90		ltanqg 6498	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91	90	3expa 1104	. . . 4 ⊢ ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
92	89, 23, 91	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
93	86, 92	mpbid 135	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
94	85, 93	eqbrtrd 3784	1 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ∅c0 3224  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ωcom 4313   × cxp 4343  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  2_𝑜c2o 5995   +_𝑜 coa 5998  [cec 6104   / cqs 6105  Ncnpi 6370   ~_Q ceq 6377  Qcnq 6378   +_Q cplq 6380   ·_Q cmq 6381   <_Q cltq 6383   ~_Q0 ceq0 6384  Q₀cnq0 6385   +_Q0 cplq0 6387   ·_Q0 cmq0 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525  df-mq0 6526

This theorem is referenced by:  prarloc  6601