Theorem nfand 1460

Description: If in a context 𝑥 is not free in 𝜓 and 𝜒, it is not free in (𝜓 ∧ 𝜒). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfand.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
nfand.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nfand	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem nfand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
2		nfand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)
3	1, 2	jca 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒))
4		df-nf 1350	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 ↔ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5		df-nf 1350	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜒 ↔ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒))
6	4, 5	anbi12i 433	. . . . 5 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
7		19.26 1370	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
8	6, 7	bitr4i 176	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
9		prth 326	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜒)))
10		19.26 1370	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜒))
11	9, 10	syl6ibr 151	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
12	11	alimi 1344	. . . 4 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
13	8, 12	sylbi 114	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
14	3, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
15		df-nf 1350	. 2 ⊢ (Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
16	14, 15	sylibr 137	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1241  Ⅎwnf 1349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-gen 1338

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350

This theorem is referenced by:  nf3and  1461  nfbid  1480  nfsbxy  1818  nfsbxyt  1819  nfeld  2193  nfrexdxy  2357  nfreudxy  2483  nfifd  3355  nfriotadxy  5476  bdsepnft  10007