Theorem mulid1 7024

Description: 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulid1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		recn 7014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-icn 6979	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 7014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		mulcl 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 393	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 6977	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddir 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
9	7, 8	mp3an3 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
10	2, 6, 9	syl2an 273	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
11		ax-1rid 6991	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12		mulass 7012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
13	3, 7, 12	mp3an13 1223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
15		ax-1rid 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
16	15	oveq2d 5528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 · 1)) = (i · 𝑦))
17	14, 16	eqtrd 2072	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · 𝑦))
18	11, 17	oveqan12d 5531	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19	10, 18	eqtrd 2072	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
20		oveq1 5519	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1))
21		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
22	20, 21	eqeq12d 2054	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
23	19, 22	syl5ibrcom 146	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴))
24	23	rexlimivv 2438	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	1, 24	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  1c1 6890  ici 6891   + caddc 6892   · cmul 6894

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-mulcl 6982  ax-mulcom 6985  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-1rid 6991  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515

This theorem is referenced by:  mulid2  7025  mulid1i  7029  mulid1d  7044  muleqadd  7649  divdivap1  7699  conjmulap  7705  nnmulcl  7935  expmul  9300  binom21  9363  bernneq  9369