Theorem iseqfeq2 9229

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqfveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
iseqfveq2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqfveq2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqfeq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
iseqfeq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem iseqfeq2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 8478	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		iseqfveq2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		iseqfveq2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		iseqfveq2.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	iseqfn 9221	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
8		uzss 8493	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9	1, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
10		fnssres 5012	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
11	7, 9, 10	syl2anc 391	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12		eluzelz 8482	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	1, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
14		iseqfveq2.g	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
15	13, 4, 14, 6	iseqfn 9221	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝐾))
16		fvres 5198	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
17	16	adantl 262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
18	1	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19		iseqfveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
20	19	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
21	4	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
22	5	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
23	14	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	6	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25		simpr 103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
26		elfzuz 8886	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
27		iseqfeq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
28	26, 27	sylan2 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
29	28	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
30	18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 29	iseqfveq2 9228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
31	17, 30	eqtrd 2072	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
32	11, 15, 31	eqfnfvd 5268	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917   ↾ cres 4347   Fn wfn 4897  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ_≥cuz 8473  ...cfz 8874  seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-iseq 9212

This theorem is referenced by:  iseqid  9247