Theorem indstr 8536

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr.2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3768	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 1))
2	1	imbi1d 220	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ (𝑦 < 1 → 𝜓)))
3	2	ralbidv 2326	. . 3 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 1 → 𝜓)))
4		breq2 3768	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑤))
5	4	imbi1d 220	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
6	5	ralbidv 2326	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
7		breq2 3768	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝑤 + 1)))
8	7	imbi1d 220	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
9	8	ralbidv 2326	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 1) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
10		breq2 3768	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
11	10	imbi1d 220	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
12	11	ralbidv 2326	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑧 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓)))
13		nnnlt1 7940	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
14	13	pm2.21d 549	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 < 1 → 𝜓))
15	14	rgen 2374	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 1 → 𝜓)
16		1nn 7925	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
17		elex2 2570	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → ∃𝑢 𝑢 ∈ ℕ)
18		nfra1 2355	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)
19	18	r19.3rm 3310	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 𝑢 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
20	16, 17, 19	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓))
21		rsp 2369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
22	21	com12 27	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
23	22	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
24		indstr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
25	24	rgen 2374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑)
26		nfv 1421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑤(∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑)
27		nfv 1421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)
28		nfsbc1v 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑤 / 𝑥]𝜑
29	27, 28	nfim 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)
30		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑤))
31	30	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
32	31	ralbidv 2326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓)))
33		sbceq1a 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝜑 ↔ [𝑤 / 𝑥]𝜑))
34	32, 33	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
35	26, 29, 34	cbvral 2529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))
36	25, 35	mpbi 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑤 ∈ ℕ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)
37	36	rspec 2373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))
38		vex 2560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
39		indstr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
40	38, 39	sbcie 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
41		dfsbcq 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑤 / 𝑥]𝜑))
42	40, 41	syl5bbr 183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ [𝑤 / 𝑥]𝜑))
43	42	biimprcd 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝜑 → (𝑦 = 𝑤 → 𝜓))
44	37, 43	syl6 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → (𝑦 = 𝑤 → 𝜓)))
45	44	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → (𝑦 = 𝑤 → 𝜓)))
46	23, 45	jcad 291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → ((𝑦 < 𝑤 → 𝜓) ∧ (𝑦 = 𝑤 → 𝜓))))
47		jaob 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤) → 𝜓) ↔ ((𝑦 < 𝑤 → 𝜓) ∧ (𝑦 = 𝑤 → 𝜓)))
48	46, 47	syl6ibr 151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → ((𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤) → 𝜓)))
49		nnleltp1 8303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ 𝑦 < (𝑤 + 1)))
50		nnz 8264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
51		nnz 8264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℤ)
52		zleloe 8292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ (𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤)))
53	50, 51, 52	syl2an 273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝑤 ↔ (𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤)))
54	49, 53	bitr3d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑤 + 1) ↔ (𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤)))
55	54	ancoms 255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑤 + 1) ↔ (𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤)))
56	55	imbi1d 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓) ↔ ((𝑦 < 𝑤 ∨ 𝑦 = 𝑤) → 𝜓)))
57	48, 56	sylibrd 158	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
58	57	ralimdva 2387	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
59	20, 58	syl5bi 141	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑤 → 𝜓) → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < (𝑤 + 1) → 𝜓)))
60	3, 6, 9, 12, 15, 59	nnind 7930	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
61	60, 24	mpd 13	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  [wsbc 2764   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061  ℕcn 7914  ℤcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  indstr2  8546