Theorem funpr 4951

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
funpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funpr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funpr.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
4		funpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		funpr.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 257	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)
7		funprg 4949	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	3, 6, 7	mp3an12 1222	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  Vcvv 2557  {cpr 3376  ⟨cop 3378  Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  funtp  4952  fpr  5345