Theorem frecuzrdgrom 9196

Description: The function 𝑅 (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) is a function defined for all natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
uzrdg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
uzrdg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
uzrdg.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
uzrdg.2	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgrom	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgrom

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 8254	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
2		uzssz 8492	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝐶) ⊆ ℤ
3	1, 2	ssexi 3895	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝐶) ∈ V
4		uzrdg.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		mpt2exga 5835	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘𝐶) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩) ∈ V)
6	3, 4, 5	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩) ∈ V)
7		vex 2560	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		fvexg 5194	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancl 392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ V)
10	9	alrimiv 1754	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ V)
11		frec2uz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12		uzid 8487	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
14		uzrdg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
15		opelxp 4374	. . . 4 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
16	13, 14, 15	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17		frecfnom 5986	. . 3 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ V ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆)) → frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) Fn ω)
18	10, 16, 17	syl2anc 391	. 2 ⊢ (𝜑 → frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) Fn ω)
19		uzrdg.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
20	19	fneq1i 4993	. 2 ⊢ (𝑅 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) Fn ω)
21	18, 20	sylibr 137	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  ⟨cop 3378   ↦ cmpt 3818  ωcom 4313   × cxp 4343   Fn wfn 4897  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ_≥cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-frec 5978  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  9197  frecuzrdgfn  9198  frecuzrdg0  9200