Theorem absle 9685

Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem absle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 7378	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1	recnd 7054	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 9649	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		simplr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		leabs 9672	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9		absneg 9648	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
11	8, 10	breqtrd 3788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12		simpr 103	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
13	2, 5, 6, 11, 12	letrd 7138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ 𝐵)
14		leabs 9672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
15	14	ad2antrr 457	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	1, 5, 6, 15, 12	letrd 7138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	13, 16	jca 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18		simpll 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simplr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	18	recnd 7054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 4	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22		axltwlin 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (abs‘𝐴))))
23	19, 21, 18, 22	syl3anc 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (abs‘𝐴))))
24		simprr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
25	18, 19	lenltd 7134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
26	24, 25	mpbid 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
27		pm2.53 641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < (abs‘𝐴)))
28	23, 26, 27	syl6ci 1334	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → 𝐴 < (abs‘𝐴)))
29		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	29	recnd 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
32	29	renegcld 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 7028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
34		ltabs 9683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
35	29, 33, 34	ltled 7135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
36	29	le0neg1d 7509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
37	35, 36	mpbid 135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
38		absid 9669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
39	32, 37, 38	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘-𝐴) = -𝐴)
40	31, 39	eqtr3d 2074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
41	18, 28, 40	syl6an 1323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) = -𝐴))
42		simprl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → -𝐴 ≤ 𝐵)
43		breq1 3767	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ -𝐴 ≤ 𝐵))
44	42, 43	syl5ibrcom 146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
45	41, 44	syld 40	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
46	21, 19	lenltd 7134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
47	45, 46	sylibd 138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < (abs‘𝐴) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴)))
48	47	pm2.01d 548	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ¬ 𝐵 < (abs‘𝐴))
49	48, 46	mpbird 156	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
50	17, 49	impbida 528	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
51		lenegcon1 7461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
52	51	anbi1d 438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
53	50, 52	bitrd 177	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   < clt 7060   ≤ cle 7061  -cneg 7183  abscabs 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597

This theorem is referenced by:  absdifle  9689  lenegsq  9691  abs2difabs  9704  abslei  9735  absled  9771