Theorem tfrlemisucfn 5938

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrlemi1 5946. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucfn	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . 3 |- z e. _V
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> z e. _V )
3		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 5928	. . 3 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 107	. 2 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6		tfrlemisucfn.4	. 2 |- ( ph -> g Fn z )
7		eqid 2040	. 2 |- ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } )
8		df-suc 4108	. 2 |- suc z = ( z u. { z } )
9		elirrv 4272	. . 3 |- -. z e. z
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> -. z e. z )
11	2, 5, 6, 7, 8, 10	fnunsn 5006	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   u. cun 2915   {csn 3375   <.cop 3378   Oncon0 4100   suc csuc 4102   |` cres 4347   Fun wfun 4896   Fn wfn 4897   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  5939  tfrlemibfn  5942