Theorem strcollnft 10109

Description: Closed form of strcollnf 10110. Version of ax-strcoll 10107 with one DV condition removed, the other DV condition replaced by a non-freeness antecedent, and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcollnft	|- ( A. x A. y F/ b ph -> ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )

Distinct variable group:   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strcoll2 10108	. 2 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) )
2		nfnf1 1436	. . . . 5 |- F/ b F/ b ph
3	2	nfal 1468	. . . 4 |- F/ b A. y F/ b ph
4	3	nfal 1468	. . 3 |- F/ b A. x A. y F/ b ph
5		nfa2 1471	. . . 4 |- F/ y A. x A. y F/ b ph
6		nfvd 1422	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b y e. z )
7		nfa1 1434	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x F/ b ph
8		nfcvd 2179	. . . . . . . 8 |- ( A. x F/ b ph -> F/_ b a )
9		sp 1401	. . . . . . . 8 |- ( A. x F/ b ph -> F/ b ph )
10	7, 8, 9	nfrexdxy 2357	. . . . . . 7 |- ( A. x F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
11	10	sps 1430	. . . . . 6 |- ( A. y A. x F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
12	11	alcoms 1365	. . . . 5 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b E. x e. a ph )
13	6, 12	nfbid 1480	. . . 4 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b ( y e. z <-> E. x e. a ph ) )
14	5, 13	nfald 1643	. . 3 |- ( A. x A. y F/ b ph -> F/ b A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) )
15		nfv 1421	. . . . . 6 |- F/ y z = b
16	5, 15	nfan 1457	. . . . 5 |- F/ y ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b )
17		elequ2 1601	. . . . . . 7 |- ( z = b -> ( y e. z <-> y e. b ) )
18	17	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( y e. z <-> y e. b ) )
19	18	bibi1d 222	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
20	16, 19	albid 1506	. . . 4 |- ( ( A. x A. y F/ b ph /\ z = b ) -> ( A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
21	20	ex 108	. . 3 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( z = b -> ( A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) ) )
22	4, 14, 21	cbvexd 1802	. 2 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( E. z A. y ( y e. z <-> E. x e. a ph ) <-> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
23	1, 22	syl5ib 143	1 |- ( A. x A. y F/ b ph -> ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381   A.wral 2306   E.wrex 2307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-strcoll 10107

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312

This theorem is referenced by:  strcollnf  10110