Theorem serige0 9252

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
serige0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
serige0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
serige0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
serige0	|- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem serige0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serige0.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 8478	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		cnex 7005	. . . . . 6 |- CC e. _V
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> CC e. _V )
6		ssrab2 3025	. . . . . . 7 |- { x e. RR | 0 <_ x } C_ RR
7		ax-resscn 6976	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
8	6, 7	sstri 2954	. . . . . 6 |- { x e. RR | 0 <_ x } C_ CC
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. RR | 0 <_ x } C_ CC )
10		serige0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
11		serige0.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
12		breq2 3768	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` k ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( F ` k ) ) )
13	12	elrab 2698	. . . . . 6 |- ( ( F ` k ) e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` k ) ) )
14	10, 11, 13	sylanbrc 394	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
15		breq2 3768	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ k ) )
16	15	elrab 2698	. . . . . . 7 |- ( k e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
17		breq2 3768	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ y ) )
18	17	elrab 2698	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
19		readdcl 7007	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
20	19	ad2ant2r 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( k + y ) e. RR )
21		addge0 7446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 0 <_ k /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( k + y ) )
22	21	an4s 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( k + y ) )
23		breq2 3768	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( k + y ) ) )
24	23	elrab 2698	. . . . . . . 8 |- ( ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( ( k + y ) e. RR /\ 0 <_ ( k + y ) ) )
25	20, 22, 24	sylanbrc 394	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
26	16, 18, 25	syl2anb 275	. . . . . 6 |- ( ( k e. { x e. RR | 0 <_ x } /\ y e. { x e. RR | 0 <_ x } ) -> ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
27	26	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. { x e. RR | 0 <_ x } /\ y e. { x e. RR | 0 <_ x } ) ) -> ( k + y ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
28		addcl 7006	. . . . . 6 |- ( ( k e. CC /\ y e. CC ) -> ( k + y ) e. CC )
29	28	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( k + y ) e. CC )
30	3, 5, 9, 14, 27, 29	iseqss 9226	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F , { x e. RR | 0 <_ x } ) = seq M ( + , F , CC ) )
31	30	fveq1d 5180	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , { x e. RR | 0 <_ x } ) ` N ) = ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) )
32		reex 7015	. . . . . 6 |- RR e. _V
33	32	rabex 3901	. . . . 5 |- { x e. RR | 0 <_ x } e. _V
34	33	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> { x e. RR | 0 <_ x } e. _V )
35	1, 34, 14, 27	iseqcl 9223	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , { x e. RR | 0 <_ x } ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
36	31, 35	eqeltrrd 2115	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } )
37		breq2 3768	. . . 4 |- ( x = ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) ) )
38	37	elrab 2698	. . 3 |- ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } <-> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) ) )
39	38	simprbi 260	. 2 |- ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) e. { x e. RR | 0 <_ x } -> 0 <_ ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) )
40	36, 39	syl 14	1 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   {crab 2310   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   + caddc 6892   <_ cle 7061   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212

This theorem is referenced by:  serile  9253