Theorem qbtwnzlemstep 9103

Description: Lemma for qbtwnz 9106. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnzlemstep	|- ( ( K e. NN /\ A e. QQ /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Distinct variable groups:   A, m   m, K

Proof of Theorem qbtwnzlemstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. ZZ )
2		simpll 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) -> K e. NN )
3	2	ad2antrr 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. NN )
4	3	nnzd 8359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. ZZ )
5	1, 4	zaddcld 8364	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. ZZ )
6		simpr 103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) <_ A )
7		qre 8560	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
8	7	ad4antlr 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A e. RR )
9	5	zred 8360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( m + K ) e. RR )
10		1red 7042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. RR )
11	9, 10	readdcld 7055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) e. RR )
12	3	nnred 7927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. RR )
13	9, 12	readdcld 7055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + K ) e. RR )
14		simplrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( m + ( K + 1 ) ) )
15	1	zcnd 8361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> m e. CC )
16	3	nncnd 7928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> K e. CC )
17		1cnd 7043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 e. CC )
18	15, 16, 17	addassd 7049	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) = ( m + ( K + 1 ) ) )
19	14, 18	breqtrrd 3790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + 1 ) )
20	3	nnge1d 7956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> 1 <_ K )
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 7551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> ( ( m + K ) + 1 ) <_ ( ( m + K ) + K ) )
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 7420	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> A < ( ( m + K ) + K ) )
23		breq1 3767	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( j <_ A <-> ( m + K ) <_ A ) )
24		oveq1 5519	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + K ) -> ( j + K ) = ( ( m + K ) + K ) )
25	24	breq2d 3776	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + K ) -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( ( m + K ) + K ) ) )
26	23, 25	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- ( j = ( m + K ) -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) )
27	26	rspcev 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. ZZ /\ ( ( m + K ) <_ A /\ A < ( ( m + K ) + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ ( m + K ) <_ A ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
29		simpllr 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m e. ZZ )
30		simplrl 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> m <_ A )
31		simpr 103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> A < ( m + K ) )
32		breq1 3767	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( j <_ A <-> m <_ A ) )
33		oveq1 5519	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( j + K ) = ( m + K ) )
34	33	breq2d 3776	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( A < ( j + K ) <-> A < ( m + K ) ) )
35	32, 34	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> ( ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) <-> ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) )
36	35	rspcev 2656	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ZZ /\ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) /\ A < ( m + K ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
38		zq 8561	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m e. QQ )
39	38	ad2antlr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> m e. QQ )
40		nnq 8568	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. QQ )
41	40	ad3antrrr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> K e. QQ )
42		qaddcl 8570	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. QQ /\ K e. QQ ) -> ( m + K ) e. QQ )
43	39, 41, 42	syl2anc 391	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( m + K ) e. QQ )
44		simpllr 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> A e. QQ )
45		qlelttric 9100	. . . . . . 7 |- ( ( ( m + K ) e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 391	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> ( ( m + K ) <_ A \/ A < ( m + K ) ) )
47	28, 37, 46	mpjaodan 711	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) /\ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
48	47	ex 108	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
49	48	rexlimdva 2433	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ A e. QQ ) -> ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
50	49	3impia 1101	. 2 |- ( ( K e. NN /\ A e. QQ /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
51		breq1 3767	. . . 4 |- ( m = j -> ( m <_ A <-> j <_ A ) )
52		oveq1 5519	. . . . 5 |- ( m = j -> ( m + K ) = ( j + K ) )
53	52	breq2d 3776	. . . 4 |- ( m = j -> ( A < ( m + K ) <-> A < ( j + K ) ) )
54	51, 53	anbi12d 442	. . 3 |- ( m = j -> ( ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) ) )
55	54	cbvrexv 2534	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) <-> E. j e. ZZ ( j <_ A /\ A < ( j + K ) ) )
56	50, 55	sylibr 137	1 |- ( ( K e. NN /\ A e. QQ /\ E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + ( K + 1 ) ) ) ) -> E. m e. ZZ ( m <_ A /\ A < ( m + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   RRcr 6888   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   NNcn 7914   ZZcz 8245   QQcq 8554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584

This theorem is referenced by:  qbtwnzlemshrink  9104