Theorem prarloclem3 6595

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6601. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	|- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Distinct variable groups:   A, j, y   j, L, y   P, j, y   U, j, y   y, X

Allowed substitution hint:   X( j)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 483	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> X e. om )
2		simpll 481	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> <. L , U >. e. P. )
3		simplr 482	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> A e. L )
4		simprr 484	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> P e. Q. )
5		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6	5	opeq1d 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
7	6	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8	7	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
9	8	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
10	9	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
11	10	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
12	11	rexbidv 2327	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
13	12	imbi1d 220	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
14	13	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
15		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o (/) ) )
16	15	opeq1d 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. )
17	16	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q )
18	17	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
19	18	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
20	19	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
21	20	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
22	21	rexbidv 2327	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
23	22	imbi1d 220	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
24		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o z ) )
25	24	opeq1d 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. )
26	25	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q )
27	26	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
28	27	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
29	28	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30	29	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
31	30	rexbidv 2327	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
32	31	imbi1d 220	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
33		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc z -> ( ( y +o 2o ) +o x ) = ( ( y +o 2o ) +o suc z ) )
34	33	opeq1d 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc z -> <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. )
35	34	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q )
36	35	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
37	36	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
38	37	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc z -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
39	38	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( x = suc z -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
40	39	rexbidv 2327	. . . . . . 7 |- ( x = suc z -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
41	40	imbi1d 220	. . . . . 6 |- ( x = suc z -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) <-> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
42		2onn 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o e. om
43		nnacl 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
44		nna0 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +o 2o ) e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
46	42, 45	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om -> ( ( y +o 2o ) +o (/) ) = ( y +o 2o ) )
47	46	opeq1d 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. = <. ( y +o 2o ) , 1o >. )
48	47	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
49	48	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
50	49	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
51	50	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
52	51	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
53	52	rexbiia 2339	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
54		opeq1 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. y , 1o >. = <. j , 1o >. )
55	54	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. y , 1o >. ] ~Q0 = [ <. j , 1o >. ] ~Q0 )
56	55	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
57	56	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
58	57	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
59		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = j -> ( y +o 2o ) = ( j +o 2o ) )
60	59	opeq1d 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = j -> <. ( y +o 2o ) , 1o >. = <. ( j +o 2o ) , 1o >. )
61	60	eceq1d 6142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q )
62	61	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
63	62	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = j -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
64	63	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
65	58, 64	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 |- ( y = j -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
66	65	cbvrexv 2534	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
67	53, 66	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
68	67	biimpi 113	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
69	68	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o (/) ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
70		prarloclem3step 6594	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
71	70	ex 108	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
72	71	imim1d 69	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
73	72	ex 108	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc z ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) ) )
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4324	. . . . 5 |- ( x e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o x ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
75	14, 74	vtoclga 2619	. . . 4 |- ( X e. om -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
76	75	imp 115	. . 3 |- ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1137	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) ) -> ( E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
78	77	3impia 1101	1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) /\ ( X e. om /\ P e. Q. ) /\ E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. j e. om ( ( A +Q0 ( [ <. j , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( j +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   (/)c0 3224   <.cop 3378   suc csuc 4102   omcom 4313  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   2oc2o 5995   +o coa 5998   [cec 6104   ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378   +Q cplq 6380   .Q cmq 6381   ~_Q0 ceq0 6384   +_Q0 cplq0 6387   ·_Q0 cmq0 6388   P.cnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prarloclem4  6596