Theorem op2ndb 4804

Description: Extract the second member of an ordered pair. Theorem 5.12(ii) of [Monk1] p. 52. (See op1stb 4209 to extract the first member and op2nda 4805 for an alternate version.) (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndb	|- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Proof of Theorem op2ndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsn.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
2		cnvsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
3	1, 2	cnvsn 4803	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
4	3	inteqi 3619	. . . . 5 |- |^| `' { <. A , B >. } = |^| { <. B , A >. }
5		opexgOLD 3965	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. e. _V )
6	2, 1, 5	mp2an 402	. . . . . 6 |- <. B , A >. e. _V
7	6	intsn 3650	. . . . 5 |- |^| { <. B , A >. } = <. B , A >.
8	4, 7	eqtri 2060	. . . 4 |- |^| `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
9	8	inteqi 3619	. . 3 |- |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| <. B , A >.
10	9	inteqi 3619	. 2 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| |^| <. B , A >.
11	2, 1	op1stb 4209	. 2 |- |^| |^| <. B , A >. = B
12	10, 11	eqtri 2060	1 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   <.cop 3378   |^|cint 3615   `'ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  2ndval2  5783